Theorem sbal2 2461

Description: Move quantifier in and out of substitution. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.) Remove a distinct variable constraint. (Revised by Wolf Lammen, 3-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sbal2	|- ( -. A. x x = y -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )

Distinct variable group:   x, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem sbal2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sb4b 2358	. . . . 5 |- ( -. A. y y = z -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. y ( y = z -> A. x ph ) ) )
2	1	adantl 482	. . . 4 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. y y = z ) -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. y ( y = z -> A. x ph ) ) )
3		nfnae 2318	. . . . . 6 |- F/ x -. A. y y = z
4		sb4b 2358	. . . . . 6 |- ( -. A. y y = z -> ( [ z / y ] ph <-> A. y ( y = z -> ph ) ) )
5	3, 4	albid 2090	. . . . 5 |- ( -. A. y y = z -> ( A. x [ z / y ] ph <-> A. x A. y ( y = z -> ph ) ) )
6		alcom 2037	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( y = z -> ph ) <-> A. y A. x ( y = z -> ph ) )
7		nfnae 2318	. . . . . . 7 |- F/ y -. A. x x = y
8		nfeqf1 2299	. . . . . . . 8 |- ( -. A. x x = y -> F/ x y = z )
9		19.21t 2073	. . . . . . . 8 |- ( F/ x y = z -> ( A. x ( y = z -> ph ) <-> ( y = z -> A. x ph ) ) )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 |- ( -. A. x x = y -> ( A. x ( y = z -> ph ) <-> ( y = z -> A. x ph ) ) )
11	7, 10	albid 2090	. . . . . 6 |- ( -. A. x x = y -> ( A. y A. x ( y = z -> ph ) <-> A. y ( y = z -> A. x ph ) ) )
12	6, 11	syl5bb 272	. . . . 5 |- ( -. A. x x = y -> ( A. x A. y ( y = z -> ph ) <-> A. y ( y = z -> A. x ph ) ) )
13	5, 12	sylan9bbr 737	. . . 4 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. y y = z ) -> ( A. x [ z / y ] ph <-> A. y ( y = z -> A. x ph ) ) )
14	2, 13	bitr4d 271	. . 3 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. y y = z ) -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )
15	14	ex 450	. 2 |- ( -. A. x x = y -> ( -. A. y y = z -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) ) )
16		sbid 2114	. . . 4 |- ( [ y / y ] A. x ph <-> A. x ph )
17		drsb2 2378	. . . 4 |- ( A. y y = z -> ( [ y / y ] A. x ph <-> [ z / y ] A. x ph ) )
18	16, 17	syl5bbr 274	. . 3 |- ( A. y y = z -> ( A. x ph <-> [ z / y ] A. x ph ) )
19		sbid 2114	. . . . 5 |- ( [ y / y ] ph <-> ph )
20		drsb2 2378	. . . . 5 |- ( A. y y = z -> ( [ y / y ] ph <-> [ z / y ] ph ) )
21	19, 20	syl5bbr 274	. . . 4 |- ( A. y y = z -> ( ph <-> [ z / y ] ph ) )
22	21	dral2 2324	. . 3 |- ( A. y y = z -> ( A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )
23	18, 22	bitr3d 270	. 2 |- ( A. y y = z -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )
24	15, 23	pm2.61d2 172	1 |- ( -. A. x x = y -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   F/wnf 1708   [wsb 1880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881

This theorem is referenced by:  2sb5ndVD  39146  2sb5ndALT  39168