Theorem sbal1 2460

Description: A theorem used in elimination of disjoint variable restriction on x and y by replacing it with a distinctor -. A. x x = z. (Contributed by NM, 15-May-1993.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 3-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sbal1	|- ( -. A. x x = z -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem sbal1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sb4b 2358	. . . . 5 |- ( -. A. y y = z -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. y ( y = z -> A. x ph ) ) )
2		nfnae 2318	. . . . . 6 |- F/ y -. A. x x = z
3		nfeqf2 2297	. . . . . . 7 |- ( -. A. x x = z -> F/ x y = z )
4		19.21t 2073	. . . . . . . 8 |- ( F/ x y = z -> ( A. x ( y = z -> ph ) <-> ( y = z -> A. x ph ) ) )
5	4	bicomd 213	. . . . . . 7 |- ( F/ x y = z -> ( ( y = z -> A. x ph ) <-> A. x ( y = z -> ph ) ) )
6	3, 5	syl 17	. . . . . 6 |- ( -. A. x x = z -> ( ( y = z -> A. x ph ) <-> A. x ( y = z -> ph ) ) )
7	2, 6	albid 2090	. . . . 5 |- ( -. A. x x = z -> ( A. y ( y = z -> A. x ph ) <-> A. y A. x ( y = z -> ph ) ) )
8	1, 7	sylan9bbr 737	. . . 4 |- ( ( -. A. x x = z /\ -. A. y y = z ) -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. y A. x ( y = z -> ph ) ) )
9		nfnae 2318	. . . . . . 7 |- F/ x -. A. y y = z
10		sb4b 2358	. . . . . . 7 |- ( -. A. y y = z -> ( [ z / y ] ph <-> A. y ( y = z -> ph ) ) )
11	9, 10	albid 2090	. . . . . 6 |- ( -. A. y y = z -> ( A. x [ z / y ] ph <-> A. x A. y ( y = z -> ph ) ) )
12		alcom 2037	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( y = z -> ph ) <-> A. y A. x ( y = z -> ph ) )
13	11, 12	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( -. A. y y = z -> ( A. x [ z / y ] ph <-> A. y A. x ( y = z -> ph ) ) )
14	13	adantl 482	. . . 4 |- ( ( -. A. x x = z /\ -. A. y y = z ) -> ( A. x [ z / y ] ph <-> A. y A. x ( y = z -> ph ) ) )
15	8, 14	bitr4d 271	. . 3 |- ( ( -. A. x x = z /\ -. A. y y = z ) -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )
16	15	ex 450	. 2 |- ( -. A. x x = z -> ( -. A. y y = z -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) ) )
17		sbequ12 2111	. . . 4 |- ( y = z -> ( A. x ph <-> [ z / y ] A. x ph ) )
18	17	sps 2055	. . 3 |- ( A. y y = z -> ( A. x ph <-> [ z / y ] A. x ph ) )
19		sbequ12 2111	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ph <-> [ z / y ] ph ) )
20	19	sps 2055	. . . 4 |- ( A. y y = z -> ( ph <-> [ z / y ] ph ) )
21	20	dral2 2324	. . 3 |- ( A. y y = z -> ( A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )
22	18, 21	bitr3d 270	. 2 |- ( A. y y = z -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )
23	16, 22	pm2.61d2 172	1 |- ( -. A. x x = z -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   F/wnf 1708   [wsb 1880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881

This theorem is referenced by:  sbal  2462