Theorem sbcssOLD 38756

Description: Distribute proper substitution through a subclass relation. This theorem was automatically derived from sbcssgVD 39119. (Contributed by Alan Sare, 22-Jul-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sbcssOLD	|- ( A e. B -> ( [. A / x ]. C C_ D <-> [_ A / x ]_ C C_ [_ A / x ]_ D ) )

Proof of Theorem sbcssOLD

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3591	. . . 4 |- ( C C_ D <-> A. y ( y e. C -> y e. D ) )
2	1	sbcbiiOLD 38741	. . 3 |- ( A e. B -> ( [. A / x ]. C C_ D <-> [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) ) )
3		sbcalgOLD 38752	. . . 4 |- ( A e. B -> ( [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) ) )
4		sbcimg 3477	. . . . . . 7 |- ( A e. B -> ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( [. A / x ]. y e. C -> [. A / x ]. y e. D ) ) )
5		sbcel2gOLD 38755	. . . . . . . 8 |- ( A e. B -> ( [. A / x ]. y e. C <-> y e. [_ A / x ]_ C ) )
6		sbcel2gOLD 38755	. . . . . . . 8 |- ( A e. B -> ( [. A / x ]. y e. D <-> y e. [_ A / x ]_ D ) )
7	5, 6	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( A e. B -> ( ( [. A / x ]. y e. C -> [. A / x ]. y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) )
8	4, 7	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( A e. B -> ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) )
9	8	alrimiv 1855	. . . . 5 |- ( A e. B -> A. y ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) )
10		albi 1746	. . . . 5 |- ( A. y ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) -> ( A. y [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) )
11	9, 10	syl 17	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A. y [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) )
12	3, 11	bitrd 268	. . 3 |- ( A e. B -> ( [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) )
13	2, 12	bitrd 268	. 2 |- ( A e. B -> ( [. A / x ]. C C_ D <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) )
14		dfss2 3591	. 2 |- ( [_ A / x ]_ C C_ [_ A / x ]_ D <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) )
15	13, 14	syl6bbr 278	1 |- ( A e. B -> ( [. A / x ]. C C_ D <-> [_ A / x ]_ C C_ [_ A / x ]_ D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   A.wal 1481   e. wcel 1990   [.wsbc 3435   [_csb 3533   C_ wss 3574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-in 3581  df-ss 3588

This theorem is referenced by: (None)