Theorem t0sep 21128

Description: Any two topologically indistinguishable points in a T₀ space are identical. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ist0.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
t0sep	|- ( ( J e. Kol2 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A. x e. J ( A e. x <-> B e. x ) -> A = B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, J   x, X

Proof of Theorem t0sep

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ist0.1	. . . 4 |- X = U. J
2	1	ist0 21124	. . 3 |- ( J e. Kol2 <-> ( J e. Top /\ A. y e. X A. z e. X ( A. x e. J ( y e. x <-> z e. x ) -> y = z ) ) )
3	2	simprbi 480	. 2 |- ( J e. Kol2 -> A. y e. X A. z e. X ( A. x e. J ( y e. x <-> z e. x ) -> y = z ) )
4		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( y = A -> ( y e. x <-> A e. x ) )
5	4	bibi1d 333	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( ( y e. x <-> z e. x ) <-> ( A e. x <-> z e. x ) ) )
6	5	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( y = A -> ( A. x e. J ( y e. x <-> z e. x ) <-> A. x e. J ( A e. x <-> z e. x ) ) )
7		eqeq1 2626	. . . . 5 |- ( y = A -> ( y = z <-> A = z ) )
8	6, 7	imbi12d 334	. . . 4 |- ( y = A -> ( ( A. x e. J ( y e. x <-> z e. x ) -> y = z ) <-> ( A. x e. J ( A e. x <-> z e. x ) -> A = z ) ) )
9		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( z = B -> ( z e. x <-> B e. x ) )
10	9	bibi2d 332	. . . . . 6 |- ( z = B -> ( ( A e. x <-> z e. x ) <-> ( A e. x <-> B e. x ) ) )
11	10	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( z = B -> ( A. x e. J ( A e. x <-> z e. x ) <-> A. x e. J ( A e. x <-> B e. x ) ) )
12		eqeq2 2633	. . . . 5 |- ( z = B -> ( A = z <-> A = B ) )
13	11, 12	imbi12d 334	. . . 4 |- ( z = B -> ( ( A. x e. J ( A e. x <-> z e. x ) -> A = z ) <-> ( A. x e. J ( A e. x <-> B e. x ) -> A = B ) ) )
14	8, 13	rspc2va 3323	. . 3 |- ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ A. y e. X A. z e. X ( A. x e. J ( y e. x <-> z e. x ) -> y = z ) ) -> ( A. x e. J ( A e. x <-> B e. x ) -> A = B ) )
15	14	ancoms 469	. 2 |- ( ( A. y e. X A. z e. X ( A. x e. J ( y e. x <-> z e. x ) -> y = z ) /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A. x e. J ( A e. x <-> B e. x ) -> A = B ) )
16	3, 15	sylan 488	1 |- ( ( J e. Kol2 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A. x e. J ( A e. x <-> B e. x ) -> A = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   U.cuni 4436   Topctop 20698   Kol2ct0 21110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-uni 4437  df-t0 21117

This theorem is referenced by:  t0dist  21129  cnt0  21150