Theorem ist0 21124

Description: The predicate "is a T₀ space." Every pair of distinct points is topologically distinguishable. For the way this definition is usually encountered, see ist0-3 21149. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
ist0.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
ist0	|- ( J e. Kol2 <-> ( J e. Top /\ A. x e. X A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) ) )

Distinct variable groups:   x, o, y, J   o, X, x, y

Proof of Theorem ist0

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unieq 4444	. . . 4 |- ( j = J -> U. j = U. J )
2		ist0.1	. . . 4 |- X = U. J
3	1, 2	syl6eqr 2674	. . 3 |- ( j = J -> U. j = X )
4		raleq 3138	. . . . 5 |- ( j = J -> ( A. o e. j ( x e. o <-> y e. o ) <-> A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) ) )
5	4	imbi1d 331	. . . 4 |- ( j = J -> ( ( A. o e. j ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) <-> ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) ) )
6	3, 5	raleqbidv 3152	. . 3 |- ( j = J -> ( A. y e. U. j ( A. o e. j ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) <-> A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) ) )
7	3, 6	raleqbidv 3152	. 2 |- ( j = J -> ( A. x e. U. j A. y e. U. j ( A. o e. j ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) <-> A. x e. X A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) ) )
8		df-t0 21117	. 2 |- Kol2 = { j e. Top | A. x e. U. j A. y e. U. j ( A. o e. j ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) }
9	7, 8	elrab2 3366	1 |- ( J e. Kol2 <-> ( J e. Top /\ A. x e. X A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   U.cuni 4436   Topctop 20698   Kol2ct0 21110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-uni 4437  df-t0 21117

This theorem is referenced by:  t0sep  21128  t0top  21133  ist0-2  21148  cnt0  21150