Theorem cnt0 21150

Description: The preimage of a T₀ topology under an injective map is T₀. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnt0	|- ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J e. Kol2 )

Proof of Theorem cnt0

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 21044	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
2	1	3ad2ant3 1084	. 2 |- ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J e. Top )
3		simpl3 1066	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
4		cnima 21069	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ w e. K ) -> ( `' F " w ) e. J )
5	3, 4	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) /\ w e. K ) -> ( `' F " w ) e. J )
6		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( `' F " w ) -> ( x e. z <-> x e. ( `' F " w ) ) )
7		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( `' F " w ) -> ( y e. z <-> y e. ( `' F " w ) ) )
8	6, 7	bibi12d 335	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( `' F " w ) -> ( ( x e. z <-> y e. z ) <-> ( x e. ( `' F " w ) <-> y e. ( `' F " w ) ) ) )
9	8	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F " w ) e. J -> ( A. z e. J ( x e. z <-> y e. z ) -> ( x e. ( `' F " w ) <-> y e. ( `' F " w ) ) ) )
10	5, 9	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) /\ w e. K ) -> ( A. z e. J ( x e. z <-> y e. z ) -> ( x e. ( `' F " w ) <-> y e. ( `' F " w ) ) ) )
11		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. J = U. J
12		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. K = U. K
13	11, 12	cnf 21050	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> U. K )
14	3, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> F : U. J --> U. K )
15		ffn 6045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : U. J --> U. K -> F Fn U. J )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> F Fn U. J )
17		elpreima 6337	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn U. J -> ( x e. ( `' F " w ) <-> ( x e. U. J /\ ( F ` x ) e. w ) ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> ( x e. ( `' F " w ) <-> ( x e. U. J /\ ( F ` x ) e. w ) ) )
19		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> x e. U. J )
20	19	biantrurd 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> ( ( F ` x ) e. w <-> ( x e. U. J /\ ( F ` x ) e. w ) ) )
21	18, 20	bitr4d 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> ( x e. ( `' F " w ) <-> ( F ` x ) e. w ) )
22		elpreima 6337	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn U. J -> ( y e. ( `' F " w ) <-> ( y e. U. J /\ ( F ` y ) e. w ) ) )
23	16, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> ( y e. ( `' F " w ) <-> ( y e. U. J /\ ( F ` y ) e. w ) ) )
24		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> y e. U. J )
25	24	biantrurd 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> ( ( F ` y ) e. w <-> ( y e. U. J /\ ( F ` y ) e. w ) ) )
26	23, 25	bitr4d 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> ( y e. ( `' F " w ) <-> ( F ` y ) e. w ) )
27	21, 26	bibi12d 335	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> ( ( x e. ( `' F " w ) <-> y e. ( `' F " w ) ) <-> ( ( F ` x ) e. w <-> ( F ` y ) e. w ) ) )
28	27	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) /\ w e. K ) -> ( ( x e. ( `' F " w ) <-> y e. ( `' F " w ) ) <-> ( ( F ` x ) e. w <-> ( F ` y ) e. w ) ) )
29	10, 28	sylibd 229	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) /\ w e. K ) -> ( A. z e. J ( x e. z <-> y e. z ) -> ( ( F ` x ) e. w <-> ( F ` y ) e. w ) ) )
30	29	ralrimdva 2969	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> ( A. z e. J ( x e. z <-> y e. z ) -> A. w e. K ( ( F ` x ) e. w <-> ( F ` y ) e. w ) ) )
31		simpl1 1064	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> K e. Kol2 )
32	14, 19	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> ( F ` x ) e. U. K )
33	14, 24	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> ( F ` y ) e. U. K )
34	12	t0sep 21128	. . . . . 6 |- ( ( K e. Kol2 /\ ( ( F ` x ) e. U. K /\ ( F ` y ) e. U. K ) ) -> ( A. w e. K ( ( F ` x ) e. w <-> ( F ` y ) e. w ) -> ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
35	31, 32, 33, 34	syl12anc 1324	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> ( A. w e. K ( ( F ` x ) e. w <-> ( F ` y ) e. w ) -> ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
36	30, 35	syld 47	. . . 4 |- ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> ( A. z e. J ( x e. z <-> y e. z ) -> ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
37		simpl2 1065	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> F : X -1-1-> Y )
38		fdm 6051	. . . . . . . 8 |- ( F : U. J --> U. K -> dom F = U. J )
39	14, 38	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> dom F = U. J )
40		f1dm 6105	. . . . . . . 8 |- ( F : X -1-1-> Y -> dom F = X )
41	37, 40	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> dom F = X )
42	39, 41	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> U. J = X )
43	19, 42	eleqtrd 2703	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> x e. X )
44	24, 42	eleqtrd 2703	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> y e. X )
45		f1fveq 6519	. . . . 5 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> x = y ) )
46	37, 43, 44, 45	syl12anc 1324	. . . 4 |- ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> x = y ) )
47	36, 46	sylibd 229	. . 3 |- ( ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> ( A. z e. J ( x e. z <-> y e. z ) -> x = y ) )
48	47	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> A. x e. U. J A. y e. U. J ( A. z e. J ( x e. z <-> y e. z ) -> x = y ) )
49	11	ist0 21124	. 2 |- ( J e. Kol2 <-> ( J e. Top /\ A. x e. U. J A. y e. U. J ( A. z e. J ( x e. z <-> y e. z ) -> x = y ) ) )
50	2, 48, 49	sylanbrc 698	1 |- ( ( K e. Kol2 /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J e. Kol2 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   U.cuni 4436   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698   Cn ccn 21028   Kol2ct0 21110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-top 20699  df-topon 20716  df-cn 21031  df-t0 21117

This theorem is referenced by:  restt0  21170  sst0  21177  t0hmph  21593