Theorem unineq 3877

Description: Infer equality from equalities of union and intersection. Exercise 20 of [Enderton] p. 32 and its converse. (Contributed by NM, 10-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unineq	|- ( ( ( A u. C ) = ( B u. C ) /\ ( A i^i C ) = ( B i^i C ) ) <-> A = B )

Proof of Theorem unineq

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( ( A i^i C ) = ( B i^i C ) -> ( x e. ( A i^i C ) <-> x e. ( B i^i C ) ) )
2		elin 3796	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A i^i C ) <-> ( x e. A /\ x e. C ) )
3		elin 3796	. . . . . . 7 |- ( x e. ( B i^i C ) <-> ( x e. B /\ x e. C ) )
4	1, 2, 3	3bitr3g 302	. . . . . 6 |- ( ( A i^i C ) = ( B i^i C ) -> ( ( x e. A /\ x e. C ) <-> ( x e. B /\ x e. C ) ) )
5		iba 524	. . . . . . 7 |- ( x e. C -> ( x e. A <-> ( x e. A /\ x e. C ) ) )
6		iba 524	. . . . . . 7 |- ( x e. C -> ( x e. B <-> ( x e. B /\ x e. C ) ) )
7	5, 6	bibi12d 335	. . . . . 6 |- ( x e. C -> ( ( x e. A <-> x e. B ) <-> ( ( x e. A /\ x e. C ) <-> ( x e. B /\ x e. C ) ) ) )
8	4, 7	syl5ibr 236	. . . . 5 |- ( x e. C -> ( ( A i^i C ) = ( B i^i C ) -> ( x e. A <-> x e. B ) ) )
9	8	adantld 483	. . . 4 |- ( x e. C -> ( ( ( A u. C ) = ( B u. C ) /\ ( A i^i C ) = ( B i^i C ) ) -> ( x e. A <-> x e. B ) ) )
10		uncom 3757	. . . . . . . . 9 |- ( A u. C ) = ( C u. A )
11		uncom 3757	. . . . . . . . 9 |- ( B u. C ) = ( C u. B )
12	10, 11	eqeq12i 2636	. . . . . . . 8 |- ( ( A u. C ) = ( B u. C ) <-> ( C u. A ) = ( C u. B ) )
13		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( ( C u. A ) = ( C u. B ) -> ( x e. ( C u. A ) <-> x e. ( C u. B ) ) )
14	12, 13	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( ( A u. C ) = ( B u. C ) -> ( x e. ( C u. A ) <-> x e. ( C u. B ) ) )
15		elun 3753	. . . . . . 7 |- ( x e. ( C u. A ) <-> ( x e. C \/ x e. A ) )
16		elun 3753	. . . . . . 7 |- ( x e. ( C u. B ) <-> ( x e. C \/ x e. B ) )
17	14, 15, 16	3bitr3g 302	. . . . . 6 |- ( ( A u. C ) = ( B u. C ) -> ( ( x e. C \/ x e. A ) <-> ( x e. C \/ x e. B ) ) )
18		biorf 420	. . . . . . 7 |- ( -. x e. C -> ( x e. A <-> ( x e. C \/ x e. A ) ) )
19		biorf 420	. . . . . . 7 |- ( -. x e. C -> ( x e. B <-> ( x e. C \/ x e. B ) ) )
20	18, 19	bibi12d 335	. . . . . 6 |- ( -. x e. C -> ( ( x e. A <-> x e. B ) <-> ( ( x e. C \/ x e. A ) <-> ( x e. C \/ x e. B ) ) ) )
21	17, 20	syl5ibr 236	. . . . 5 |- ( -. x e. C -> ( ( A u. C ) = ( B u. C ) -> ( x e. A <-> x e. B ) ) )
22	21	adantrd 484	. . . 4 |- ( -. x e. C -> ( ( ( A u. C ) = ( B u. C ) /\ ( A i^i C ) = ( B i^i C ) ) -> ( x e. A <-> x e. B ) ) )
23	9, 22	pm2.61i 176	. . 3 |- ( ( ( A u. C ) = ( B u. C ) /\ ( A i^i C ) = ( B i^i C ) ) -> ( x e. A <-> x e. B ) )
24	23	eqrdv 2620	. 2 |- ( ( ( A u. C ) = ( B u. C ) /\ ( A i^i C ) = ( B i^i C ) ) -> A = B )
25		uneq1 3760	. . 3 |- ( A = B -> ( A u. C ) = ( B u. C ) )
26		ineq1 3807	. . 3 |- ( A = B -> ( A i^i C ) = ( B i^i C ) )
27	25, 26	jca 554	. 2 |- ( A = B -> ( ( A u. C ) = ( B u. C ) /\ ( A i^i C ) = ( B i^i C ) ) )
28	24, 27	impbii 199	1 |- ( ( ( A u. C ) = ( B u. C ) /\ ( A i^i C ) = ( B i^i C ) ) <-> A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   i^i cin 3573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-v 3202  df-un 3579  df-in 3581

This theorem is referenced by: (None)