Theorem wl-sbalnae 33345

Description: A theorem used in elimination of disjoint variable restrictions by replacing them with distinctors. (Contributed by Wolf Lammen, 25-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
wl-sbalnae	|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )

Proof of Theorem wl-sbalnae

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sb4b 2358	. . . . 5 |- ( -. A. y y = z -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. y ( y = z -> A. x ph ) ) )
2		nfnae 2318	. . . . . . 7 |- F/ y -. A. x x = y
3		nfnae 2318	. . . . . . 7 |- F/ y -. A. x x = z
4	2, 3	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ y ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z )
5		nfeqf 2301	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x y = z )
6		19.21t 2073	. . . . . . . 8 |- ( F/ x y = z -> ( A. x ( y = z -> ph ) <-> ( y = z -> A. x ph ) ) )
7	6	bicomd 213	. . . . . . 7 |- ( F/ x y = z -> ( ( y = z -> A. x ph ) <-> A. x ( y = z -> ph ) ) )
8	5, 7	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( ( y = z -> A. x ph ) <-> A. x ( y = z -> ph ) ) )
9	4, 8	albid 2090	. . . . 5 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( A. y ( y = z -> A. x ph ) <-> A. y A. x ( y = z -> ph ) ) )
10	1, 9	sylan9bbr 737	. . . 4 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ -. A. y y = z ) -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. y A. x ( y = z -> ph ) ) )
11		nfnae 2318	. . . . . . 7 |- F/ x -. A. y y = z
12		sb4b 2358	. . . . . . 7 |- ( -. A. y y = z -> ( [ z / y ] ph <-> A. y ( y = z -> ph ) ) )
13	11, 12	albid 2090	. . . . . 6 |- ( -. A. y y = z -> ( A. x [ z / y ] ph <-> A. x A. y ( y = z -> ph ) ) )
14		alcom 2037	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( y = z -> ph ) <-> A. y A. x ( y = z -> ph ) )
15	13, 14	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( -. A. y y = z -> ( A. x [ z / y ] ph <-> A. y A. x ( y = z -> ph ) ) )
16	15	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ -. A. y y = z ) -> ( A. x [ z / y ] ph <-> A. y A. x ( y = z -> ph ) ) )
17	10, 16	bitr4d 271	. . 3 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ -. A. y y = z ) -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )
18	17	ex 450	. 2 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( -. A. y y = z -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) ) )
19		sbequ12 2111	. . . 4 |- ( y = z -> ( A. x ph <-> [ z / y ] A. x ph ) )
20	19	sps 2055	. . 3 |- ( A. y y = z -> ( A. x ph <-> [ z / y ] A. x ph ) )
21		sbequ12 2111	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ph <-> [ z / y ] ph ) )
22	21	sps 2055	. . . 4 |- ( A. y y = z -> ( ph <-> [ z / y ] ph ) )
23	22	dral2 2324	. . 3 |- ( A. y y = z -> ( A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )
24	20, 23	bitr3d 270	. 2 |- ( A. y y = z -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )
25	18, 24	pm2.61d2 172	1 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   F/wnf 1708   [wsb 1880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881

This theorem is referenced by:  wl-sbal1  33346  wl-sbal2  33347