Theorem zfinf 8536

Description: Axiom of Infinity expressed with the fewest number of different variables. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 14-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
zfinf	|- E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z

Proof of Theorem zfinf

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-inf 8535	. 2 |- E. x ( y e. x /\ A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) )
2		elequ1 1997	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( w e. x <-> y e. x ) )
3		elequ1 1997	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( w e. z <-> y e. z ) )
4	3	anbi1d 741	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( ( w e. z /\ z e. x ) <-> ( y e. z /\ z e. x ) ) )
5	4	exbidv 1850	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( E. z ( w e. z /\ z e. x ) <-> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) )
6	2, 5	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) <-> ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) )
7	6	cbvalv 2273	. . . 4 |- ( A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) <-> A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) )
8	7	anbi2i 730	. . 3 |- ( ( y e. x /\ A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) ) <-> ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) )
9	8	exbii 1774	. 2 |- ( E. x ( y e. x /\ A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) ) <-> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) )
10	1, 9	mpbi 220	1 |- E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-inf 8535

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 386  df-ex 1705

This theorem is referenced by:  axinf2  8537  axinfndlem1  9427