Theorem axinf2 8537

Description: A standard version of Axiom of Infinity, expanded to primitives, derived from our version of Infinity ax-inf 8535 and Regularity ax-reg 8497.

This theorem should not be referenced in any proof. Instead, use ax-inf2 8538 below so that the ordinary uses of Regularity can be more easily identified. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 3-Nov-1996.)

Assertion

Ref	Expression
axinf2	|- E. x ( E. y ( y e. x /\ A. z -. z e. y ) /\ A. y ( y e. x -> E. z ( z e. x /\ A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w

Proof of Theorem axinf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7085	. . 3 |- (/) e. om
2		peano2 7086	. . . 4 |- ( y e. om -> suc y e. om )
3	2	ax-gen 1722	. . 3 |- A. y ( y e. om -> suc y e. om )
4		zfinf 8536	. . . . . 6 |- E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) )
5	4	inf2 8520	. . . . 5 |- E. x ( x =/= (/) /\ x C_ U. x )
6	5	inf3 8532	. . . 4 |- om e. _V
7		eleq2 2690	. . . . 5 |- ( x = om -> ( (/) e. x <-> (/) e. om ) )
8		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( x = om -> ( y e. x <-> y e. om ) )
9		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( x = om -> ( suc y e. x <-> suc y e. om ) )
10	8, 9	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( x = om -> ( ( y e. x -> suc y e. x ) <-> ( y e. om -> suc y e. om ) ) )
11	10	albidv 1849	. . . . 5 |- ( x = om -> ( A. y ( y e. x -> suc y e. x ) <-> A. y ( y e. om -> suc y e. om ) ) )
12	7, 11	anbi12d 747	. . . 4 |- ( x = om -> ( ( (/) e. x /\ A. y ( y e. x -> suc y e. x ) ) <-> ( (/) e. om /\ A. y ( y e. om -> suc y e. om ) ) ) )
13	6, 12	spcev 3300	. . 3 |- ( ( (/) e. om /\ A. y ( y e. om -> suc y e. om ) ) -> E. x ( (/) e. x /\ A. y ( y e. x -> suc y e. x ) ) )
14	1, 3, 13	mp2an 708	. 2 |- E. x ( (/) e. x /\ A. y ( y e. x -> suc y e. x ) )
15		0el 3939	. . . . 5 |- ( (/) e. x <-> E. y e. x A. z -. z e. y )
16		df-rex 2918	. . . . 5 |- ( E. y e. x A. z -. z e. y <-> E. y ( y e. x /\ A. z -. z e. y ) )
17	15, 16	bitri 264	. . . 4 |- ( (/) e. x <-> E. y ( y e. x /\ A. z -. z e. y ) )
18		sucel 5798	. . . . . . 7 |- ( suc y e. x <-> E. z e. x A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) )
19		df-rex 2918	. . . . . . 7 |- ( E. z e. x A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) <-> E. z ( z e. x /\ A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) ) )
20	18, 19	bitri 264	. . . . . 6 |- ( suc y e. x <-> E. z ( z e. x /\ A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) ) )
21	20	imbi2i 326	. . . . 5 |- ( ( y e. x -> suc y e. x ) <-> ( y e. x -> E. z ( z e. x /\ A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) ) ) )
22	21	albii 1747	. . . 4 |- ( A. y ( y e. x -> suc y e. x ) <-> A. y ( y e. x -> E. z ( z e. x /\ A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) ) ) )
23	17, 22	anbi12i 733	. . 3 |- ( ( (/) e. x /\ A. y ( y e. x -> suc y e. x ) ) <-> ( E. y ( y e. x /\ A. z -. z e. y ) /\ A. y ( y e. x -> E. z ( z e. x /\ A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) ) ) ) )
24	23	exbii 1774	. 2 |- ( E. x ( (/) e. x /\ A. y ( y e. x -> suc y e. x ) ) <-> E. x ( E. y ( y e. x /\ A. z -. z e. y ) /\ A. y ( y e. x -> E. z ( z e. x /\ A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) ) ) ) )
25	14, 24	mpbi 220	1 |- E. x ( E. y ( y e. x /\ A. z -. z e. y ) /\ A. y ( y e. x -> E. z ( z e. x /\ A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E.wrex 2913   (/)c0 3915   suc csuc 5725   omcom 7065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf 8535

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506

This theorem is referenced by: (None)