Theorem zfinf2 8539

Description: A standard version of the Axiom of Infinity, using definitions to abbreviate. Axiom Inf of [BellMachover] p. 472. (See ax-inf2 8538 for the unabbreviated version.) (Contributed by NM, 30-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
zfinf2	|- E. x ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem zfinf2

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-inf2 8538	. 2 |- E. x ( E. y ( y e. x /\ A. z -. z e. y ) /\ A. y ( y e. x -> E. z ( z e. x /\ A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) ) ) )
2		0el 3939	. . . . 5 |- ( (/) e. x <-> E. y e. x A. z -. z e. y )
3		df-rex 2918	. . . . 5 |- ( E. y e. x A. z -. z e. y <-> E. y ( y e. x /\ A. z -. z e. y ) )
4	2, 3	bitri 264	. . . 4 |- ( (/) e. x <-> E. y ( y e. x /\ A. z -. z e. y ) )
5		sucel 5798	. . . . . . 7 |- ( suc y e. x <-> E. z e. x A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) )
6		df-rex 2918	. . . . . . 7 |- ( E. z e. x A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) <-> E. z ( z e. x /\ A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) ) )
7	5, 6	bitri 264	. . . . . 6 |- ( suc y e. x <-> E. z ( z e. x /\ A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) ) )
8	7	ralbii 2980	. . . . 5 |- ( A. y e. x suc y e. x <-> A. y e. x E. z ( z e. x /\ A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) ) )
9		df-ral 2917	. . . . 5 |- ( A. y e. x E. z ( z e. x /\ A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) ) <-> A. y ( y e. x -> E. z ( z e. x /\ A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) ) ) )
10	8, 9	bitri 264	. . . 4 |- ( A. y e. x suc y e. x <-> A. y ( y e. x -> E. z ( z e. x /\ A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) ) ) )
11	4, 10	anbi12i 733	. . 3 |- ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) <-> ( E. y ( y e. x /\ A. z -. z e. y ) /\ A. y ( y e. x -> E. z ( z e. x /\ A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) ) ) ) )
12	11	exbii 1774	. 2 |- ( E. x ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) <-> E. x ( E. y ( y e. x /\ A. z -. z e. y ) /\ A. y ( y e. x -> E. z ( z e. x /\ A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) ) ) ) )
13	1, 12	mpbir 221	1 |- E. x ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   (/)c0 3915   suc csuc 5725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-nul 3916  df-sn 4178  df-suc 5729

This theorem is referenced by:  omex  8540