Theorem abvrcl 18821

Description: Reverse closure for the absolute value set. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
abvf.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvrcl	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem abvrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abv 18817	. . . 4 ⊢ AbsVal = (𝑟 ∈ Ring ↦ {𝑓 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 (Base‘𝑟)) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑟)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝑟)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑟)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))})
2	1	dmmptss 5631	. . 3 ⊢ dom AbsVal ⊆ Ring
3		elfvdm 6220	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (AbsVal‘𝑅) → 𝑅 ∈ dom AbsVal)
4	2, 3	sseldi 3601	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (AbsVal‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
5		abvf.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
6	4, 5	eleq2s 2719	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  {crab 2916   class class class wbr 4653  dom cdm 5114  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857  0cc0 9936   + caddc 9939   · cmul 9941  +∞cpnf 10071   ≤ cle 10075  [,)cico 12177  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  ._rcmulr 15942  0_gc0g 16100  Ringcrg 18547  AbsValcabv 18816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fv 5896  df-abv 18817

This theorem is referenced by:  abvfge0  18822  abveq0  18826  abvmul  18829  abvtri  18830  abv0  18831  abv1z  18832  abvneg  18834  abvsubtri  18835  abvpropd  18842  abvmet  22380  nrgring  22467  tngnrg  22478  abvcxp  25304