Theorem abvrcl 18821

Description: Reverse closure for the absolute value set. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
abvf.a	|- A = (AbsVal ` R )

Assertion

Ref	Expression
abvrcl	|- ( F e. A -> R e. Ring )

Proof of Theorem abvrcl

Dummy variables x y f r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abv 18817	. . . 4 |- AbsVal = ( r e. Ring |-> { f e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` r ) ) /\ A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) } )
2	1	dmmptss 5631	. . 3 |- dom AbsVal C_ Ring
3		elfvdm 6220	. . 3 |- ( F e. (AbsVal ` R ) -> R e. dom AbsVal )
4	2, 3	sseldi 3601	. 2 |- ( F e. (AbsVal ` R ) -> R e. Ring )
5		abvf.a	. 2 |- A = (AbsVal ` R )
6	4, 5	eleq2s 2719	1 |- ( F e. A -> R e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   [,)cico 12177   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Ringcrg 18547  AbsValcabv 18816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fv 5896  df-abv 18817

This theorem is referenced by:  abvfge0  18822  abveq0  18826  abvmul  18829  abvtri  18830  abv0  18831  abv1z  18832  abvneg  18834  abvsubtri  18835  abvpropd  18842  abvmet  22380  nrgring  22467  tngnrg  22478  abvcxp  25304