Theorem bj-1uplex 32996

Description: A monuple is a set if and only if its coordinates are sets. (Contributed by BJ, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-1uplex	⊢ (⦅𝐴⦆ ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem bj-1uplex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-pr11val 32993	. . 3 ⊢ pr1 ⦅𝐴⦆ = 𝐴
2		bj-pr1ex 32994	. . 3 ⊢ (⦅𝐴⦆ ∈ V → pr1 ⦅𝐴⦆ ∈ V)
3	1, 2	syl5eqelr 2706	. 2 ⊢ (⦅𝐴⦆ ∈ V → 𝐴 ∈ V)
4		df-bj-1upl 32986	. . 3 ⊢ ⦅𝐴⦆ = ({∅} × tag 𝐴)
5		p0ex 4853	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
6		bj-xtagex 32977	. . . 4 ⊢ ({∅} ∈ V → (𝐴 ∈ V → ({∅} × tag 𝐴) ∈ V))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({∅} × tag 𝐴) ∈ V)
8	4, 7	syl5eqel 2705	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ⦅𝐴⦆ ∈ V)
9	3, 8	impbii 199	1 ⊢ (⦅𝐴⦆ ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ∅c0 3915  {csn 4177   × cxp 5112  tag bj-ctag 32962  ⦅bj-c1upl 32985  pr₁ bj-cpr1 32988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-bj-sngl 32954  df-bj-tag 32963  df-bj-proj 32979  df-bj-1upl 32986  df-bj-pr1 32989

This theorem is referenced by:  bj-2uplex  33010