Theorem bj-2upln0 33011

Description: A couple is nonempty. (Contributed by BJ, 21-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-2upln0	⊢ ⦅𝐴, 𝐵⦆ ≠ ∅

Proof of Theorem bj-2upln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-2upl 32999	. 2 ⊢ ⦅𝐴, 𝐵⦆ = (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵))
2		bj-1upln0 32997	. . . . 5 ⊢ ⦅𝐴⦆ ≠ ∅
3		0pss 4013	. . . . 5 ⊢ (∅ ⊊ ⦅𝐴⦆ ↔ ⦅𝐴⦆ ≠ ∅)
4	2, 3	mpbir 221	. . . 4 ⊢ ∅ ⊊ ⦅𝐴⦆
5		ssun1 3776	. . . 4 ⊢ ⦅𝐴⦆ ⊆ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵))
6		psssstr 3713	. . . 4 ⊢ ((∅ ⊊ ⦅𝐴⦆ ∧ ⦅𝐴⦆ ⊆ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵))) → ∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵)))
7	4, 5, 6	mp2an 708	. . 3 ⊢ ∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵))
8		0pss 4013	. . 3 ⊢ (∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵)) ↔ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵)) ≠ ∅)
9	7, 8	mpbi 220	. 2 ⊢ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵)) ≠ ∅
10	1, 9	eqnetri 2864	1 ⊢ ⦅𝐴, 𝐵⦆ ≠ ∅

Syntax hints:   ≠ wne 2794   ∪ cun 3572   ⊆ wss 3574   ⊊ wpss 3575  ∅c0 3915  {csn 4177   × cxp 5112  1_𝑜c1o 7553  tag bj-ctag 32962  ⦅bj-c1upl 32985  ⦅bj-c2uple 32998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-bj-tag 32963  df-bj-1upl 32986  df-bj-2upl 32999

This theorem is referenced by: (None)