Theorem coep 31641

Description: Composition with epsilon. (Contributed by Scott Fenton, 18-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
coep.1	⊢ 𝐴 ∈ V
coep.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
coep	⊢ (𝐴( E ∘ 𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴𝑅𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅

Proof of Theorem coep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coep.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	epelc 5031	. . . . 5 ⊢ (𝑥 E 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)
3	2	anbi2i 730	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥 E 𝐵) ↔ (𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
4		ancom 466	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴𝑅𝑥))
5	3, 4	bitri 264	. . 3 ⊢ ((𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥 E 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴𝑅𝑥))
6	5	exbii 1774	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥 E 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴𝑅𝑥))
7		coep.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
8	7, 1	brco 5292	. 2 ⊢ (𝐴( E ∘ 𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥 E 𝐵))
9		df-rex 2918	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴𝑅𝑥))
10	6, 8, 9	3bitr4i 292	1 ⊢ (𝐴( E ∘ 𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴𝑅𝑥)

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   class class class wbr 4653   E cep 5028   ∘ ccom 5118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-eprel 5029  df-co 5123

This theorem is referenced by:  dffr5  31643  brbigcup  32005  elfuns  32022  brimage  32033