Theorem funcnvqpOLD 5953

Description: Obsolete proof of funcnvqp 5952 as of 14-Jul-2021. (Contributed by AV, 23-Jan-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvqpOLD	⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → Fun ◡({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))

Proof of Theorem funcnvqpOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑈)
2	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝐴 ∈ 𝑈)
3		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ 𝑉)
4	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
5		simp11 1091	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻) → 𝐵 ≠ 𝐷)
6		funcnvpr 5950	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
7	2, 4, 5, 6	syl2an3an 1386	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
8		simpl 473	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → 𝐸 ∈ 𝑊)
9	8	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝐸 ∈ 𝑊)
10		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → 𝐺 ∈ 𝑇)
11	10	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
12		simp3 1063	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻) → 𝐹 ≠ 𝐻)
13		funcnvpr 5950	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ 𝐻) → Fun ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
14	9, 11, 12, 13	syl2an3an 1386	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → Fun ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
15		df-rn 5125	. . . . . 6 ⊢ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = dom ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩}
16		rnpropg 5615	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ran {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = {𝐵, 𝐷})
17	15, 16	syl5eqr 2670	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → dom ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = {𝐵, 𝐷})
18		df-rn 5125	. . . . . 6 ⊢ ran {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩} = dom ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}
19		rnpropg 5615	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ran {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩} = {𝐹, 𝐻})
20	18, 19	syl5eqr 2670	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → dom ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩} = {𝐹, 𝐻})
21	17, 20	ineqan12d 3816	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (dom ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∩ dom ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) = ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}))
22		simp2 1062	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) → 𝐵 ≠ 𝐹)
23		simpl 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) → 𝐷 ≠ 𝐹)
24	22, 23	anim12i 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻)) → (𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹))
25	24	3adant3 1081	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻) → (𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹))
26		simp3 1063	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) → 𝐵 ≠ 𝐻)
27		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) → 𝐷 ≠ 𝐻)
28	26, 27	anim12i 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻)) → (𝐵 ≠ 𝐻 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻))
29	28	3adant3 1081	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻) → (𝐵 ≠ 𝐻 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻))
30		disjpr2 4248	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹) ∧ (𝐵 ≠ 𝐻 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻)) → ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}) = ∅)
31	25, 29, 30	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻) → ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}) = ∅)
32	21, 31	sylan9eq 2676	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → (dom ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∩ dom ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) = ∅)
33		funun 5932	. . 3 ⊢ (((Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∧ Fun ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) ∧ (dom ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∩ dom ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) = ∅) → Fun (◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))
34	7, 14, 32, 33	syl21anc 1325	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → Fun (◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))
35		cnvun 5538	. . 3 ⊢ ◡({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) = (◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
36	35	funeqi 5909	. 2 ⊢ (Fun ◡({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) ↔ Fun (◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))
37	34, 36	sylibr 224	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → Fun ◡({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573  ∅c0 3915  {cpr 4179  ⟨cop 4183  ^◡ccnv 5113  dom cdm 5114  ran crn 5115  Fun wfun 5882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-fun 5890

This theorem is referenced by: (None)