Theorem ifle 12028

Description: An if statement transforms an implication into an inequality of terms. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ifle	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem ifle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1100	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	leidd 10594	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ 𝜑) → 𝐴 ≤ 𝐴)
3		iftrue 4092	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
4	3	adantl 482	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 → 𝜓) → (𝜑 → 𝜓))
6	5	imp 445	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 → 𝜓) ∧ 𝜑) → 𝜓)
7	6	adantll 750	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ 𝜑) → 𝜓)
8	7	iftrued 4094	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
9	2, 4, 8	3brtr4d 4685	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
10		iffalse 4095	. . . 4 ⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
11	10	adantl 482	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
12		simpll3 1102	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵 ≤ 𝐴)
13		simpll2 1101	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	leidd 10594	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵 ≤ 𝐵)
15		breq2 4657	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝜓, 𝐴, 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵)))
16		breq2 4657	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝜓, 𝐴, 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐵 ↔ 𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵)))
17	15, 16	ifboth 4124	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵) → 𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
18	12, 14, 17	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
19	11, 18	eqbrtrd 4675	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
20	9, 19	pm2.61dan 832	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ifcif 4086   class class class wbr 4653  ℝcr 9935   ≤ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem4  14946  itg2cnlem2  23529