Theorem infmo 8401

Description: Any class 𝐵 has at most one infimum in 𝐴 (where 𝑅 is interpreted as 'less than'). (Contributed by AV, 6-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
infmo.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
infmo	⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem infmo

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infmo.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
2		ancom 466	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
3	2	anbi2ci 732	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))) ↔ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)))
4		an42 866	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))) ↔ ((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
5		an42 866	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤)) ↔ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)))
6	3, 4, 5	3bitr4i 292	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))) ↔ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤)))
7		ralnex 2992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑥)
8		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑤𝑅𝑦 ↔ 𝑤𝑅𝑥))
9		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑧𝑅𝑦 ↔ 𝑧𝑅𝑥))
10	9	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑥))
11	8, 10	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ↔ (𝑤𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑥)))
12	11	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → (𝑤𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑥))
13		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝑅𝑥 ↔ 𝑧𝑅𝑥))
14	13	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑥)
15	12, 14	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → (𝑤𝑅𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑥))
16	15	con3d 148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → (¬ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑤𝑅𝑥))
17	7, 16	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑤𝑅𝑥))
18	17	expimpd 629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑤𝑅𝑥))
19	18	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑤𝑅𝑥))
20		ralnex 2992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑤)
21		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑥𝑅𝑤))
22		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑧𝑅𝑦 ↔ 𝑧𝑅𝑤))
23	22	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑤))
24	21, 23	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ↔ (𝑥𝑅𝑤 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑤)))
25	24	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → (𝑥𝑅𝑤 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑤))
26		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝑅𝑤 ↔ 𝑧𝑅𝑤))
27	26	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑤 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑤)
28	25, 27	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → (𝑥𝑅𝑤 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑤))
29	28	con3d 148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → (¬ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑤 → ¬ 𝑥𝑅𝑤))
30	20, 29	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤 → ¬ 𝑥𝑅𝑤))
31	30	expimpd 629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤) → ¬ 𝑥𝑅𝑤))
32	31	ad2antll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤) → ¬ 𝑥𝑅𝑤))
33	19, 32	anim12d 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤)) → (¬ 𝑤𝑅𝑥 ∧ ¬ 𝑥𝑅𝑤)))
34	33	imp 445	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) ∧ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤))) → (¬ 𝑤𝑅𝑥 ∧ ¬ 𝑥𝑅𝑤))
35	34	ancomd 467	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) ∧ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤))) → (¬ 𝑥𝑅𝑤 ∧ ¬ 𝑤𝑅𝑥))
36	35	ex 450	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤)) → (¬ 𝑥𝑅𝑤 ∧ ¬ 𝑤𝑅𝑥)))
37	6, 36	syl5bi 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))) → (¬ 𝑥𝑅𝑤 ∧ ¬ 𝑤𝑅𝑥)))
38		sotrieq2 5063	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑥 = 𝑤 ↔ (¬ 𝑥𝑅𝑤 ∧ ¬ 𝑤𝑅𝑥)))
39	37, 38	sylibrd 249	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
40	39	ralrimivva 2971	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
41	1, 40	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
42		breq2 4657	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑦𝑅𝑥 ↔ 𝑦𝑅𝑤))
43	42	notbid 308	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑤))
44	43	ralbidv 2986	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤))
45		breq1 4656	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑤𝑅𝑦))
46	45	imbi1d 331	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ↔ (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
47	46	ralbidv 2986	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
48	44, 47	anbi12d 747	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
49	48	rmo4 3399	. 2 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑤 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
50	41, 49	sylibr 224	1 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  ∃*wrmo 2915   class class class wbr 4653   Or wor 5034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-po 5035  df-so 5036

This theorem is referenced by:  infeu  8402