Theorem infmo 8401

Description: Any class B has at most one infimum in A (where R is interpreted as 'less than'). (Contributed by AV, 6-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
infmo.1	|- ( ph -> R Or A )

Assertion

Ref	Expression
infmo	|- ( ph -> E* x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, R, y, z   x, B, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem infmo

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infmo.1	. . 3 |- ( ph -> R Or A )
2		ancom 466	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. B -. y R w ) <-> ( A. y e. B -. y R w /\ A. y e. B -. y R x ) )
3	2	anbi2ci 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. B -. y R w ) /\ ( A. y e. A ( w R y -> E. z e. B z R y ) /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) <-> ( ( A. y e. A ( w R y -> E. z e. B z R y ) /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) /\ ( A. y e. B -. y R w /\ A. y e. B -. y R x ) ) )
4		an42 866	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) /\ ( A. y e. B -. y R w /\ A. y e. A ( w R y -> E. z e. B z R y ) ) ) <-> ( ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. B -. y R w ) /\ ( A. y e. A ( w R y -> E. z e. B z R y ) /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
5		an42 866	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. y e. A ( w R y -> E. z e. B z R y ) /\ A. y e. B -. y R x ) /\ ( A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) /\ A. y e. B -. y R w ) ) <-> ( ( A. y e. A ( w R y -> E. z e. B z R y ) /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) /\ ( A. y e. B -. y R w /\ A. y e. B -. y R x ) ) )
6	3, 4, 5	3bitr4i 292	. . . . . 6 |- ( ( ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) /\ ( A. y e. B -. y R w /\ A. y e. A ( w R y -> E. z e. B z R y ) ) ) <-> ( ( A. y e. A ( w R y -> E. z e. B z R y ) /\ A. y e. B -. y R x ) /\ ( A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) /\ A. y e. B -. y R w ) ) )
7		ralnex 2992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. B -. y R x <-> -. E. y e. B y R x )
8		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = x -> ( w R y <-> w R x ) )
9		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = x -> ( z R y <-> z R x ) )
10	9	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = x -> ( E. z e. B z R y <-> E. z e. B z R x ) )
11	8, 10	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = x -> ( ( w R y -> E. z e. B z R y ) <-> ( w R x -> E. z e. B z R x ) ) )
12	11	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. A /\ A. y e. A ( w R y -> E. z e. B z R y ) ) -> ( w R x -> E. z e. B z R x ) )
13		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = z -> ( y R x <-> z R x ) )
14	13	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. y e. B y R x <-> E. z e. B z R x )
15	12, 14	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ A. y e. A ( w R y -> E. z e. B z R y ) ) -> ( w R x -> E. y e. B y R x ) )
16	15	con3d 148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ A. y e. A ( w R y -> E. z e. B z R y ) ) -> ( -. E. y e. B y R x -> -. w R x ) )
17	7, 16	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ A. y e. A ( w R y -> E. z e. B z R y ) ) -> ( A. y e. B -. y R x -> -. w R x ) )
18	17	expimpd 629	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( ( A. y e. A ( w R y -> E. z e. B z R y ) /\ A. y e. B -. y R x ) -> -. w R x ) )
19	18	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( A. y e. A ( w R y -> E. z e. B z R y ) /\ A. y e. B -. y R x ) -> -. w R x ) )
20		ralnex 2992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. B -. y R w <-> -. E. y e. B y R w )
21		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = w -> ( x R y <-> x R w ) )
22		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = w -> ( z R y <-> z R w ) )
23	22	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = w -> ( E. z e. B z R y <-> E. z e. B z R w ) )
24	21, 23	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = w -> ( ( x R y -> E. z e. B z R y ) <-> ( x R w -> E. z e. B z R w ) ) )
25	24	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. A /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) -> ( x R w -> E. z e. B z R w ) )
26		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = z -> ( y R w <-> z R w ) )
27	26	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. y e. B y R w <-> E. z e. B z R w )
28	25, 27	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. A /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) -> ( x R w -> E. y e. B y R w ) )
29	28	con3d 148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. A /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) -> ( -. E. y e. B y R w -> -. x R w ) )
30	20, 29	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. A /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) -> ( A. y e. B -. y R w -> -. x R w ) )
31	30	expimpd 629	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. A -> ( ( A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) /\ A. y e. B -. y R w ) -> -. x R w ) )
32	31	ad2antll 765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) /\ A. y e. B -. y R w ) -> -. x R w ) )
33	19, 32	anim12d 586	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( A. y e. A ( w R y -> E. z e. B z R y ) /\ A. y e. B -. y R x ) /\ ( A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) /\ A. y e. B -. y R w ) ) -> ( -. w R x /\ -. x R w ) ) )
34	33	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) /\ ( ( A. y e. A ( w R y -> E. z e. B z R y ) /\ A. y e. B -. y R x ) /\ ( A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) /\ A. y e. B -. y R w ) ) ) -> ( -. w R x /\ -. x R w ) )
35	34	ancomd 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) /\ ( ( A. y e. A ( w R y -> E. z e. B z R y ) /\ A. y e. B -. y R x ) /\ ( A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) /\ A. y e. B -. y R w ) ) ) -> ( -. x R w /\ -. w R x ) )
36	35	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( A. y e. A ( w R y -> E. z e. B z R y ) /\ A. y e. B -. y R x ) /\ ( A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) /\ A. y e. B -. y R w ) ) -> ( -. x R w /\ -. w R x ) ) )
37	6, 36	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) /\ ( A. y e. B -. y R w /\ A. y e. A ( w R y -> E. z e. B z R y ) ) ) -> ( -. x R w /\ -. w R x ) ) )
38		sotrieq2 5063	. . . . 5 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( x = w <-> ( -. x R w /\ -. w R x ) ) )
39	37, 38	sylibrd 249	. . . 4 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) /\ ( A. y e. B -. y R w /\ A. y e. A ( w R y -> E. z e. B z R y ) ) ) -> x = w ) )
40	39	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( R Or A -> A. x e. A A. w e. A ( ( ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) /\ ( A. y e. B -. y R w /\ A. y e. A ( w R y -> E. z e. B z R y ) ) ) -> x = w ) )
41	1, 40	syl 17	. 2 |- ( ph -> A. x e. A A. w e. A ( ( ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) /\ ( A. y e. B -. y R w /\ A. y e. A ( w R y -> E. z e. B z R y ) ) ) -> x = w ) )
42		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( y R x <-> y R w ) )
43	42	notbid 308	. . . . 5 |- ( x = w -> ( -. y R x <-> -. y R w ) )
44	43	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( x = w -> ( A. y e. B -. y R x <-> A. y e. B -. y R w ) )
45		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( x R y <-> w R y ) )
46	45	imbi1d 331	. . . . 5 |- ( x = w -> ( ( x R y -> E. z e. B z R y ) <-> ( w R y -> E. z e. B z R y ) ) )
47	46	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( x = w -> ( A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) <-> A. y e. A ( w R y -> E. z e. B z R y ) ) )
48	44, 47	anbi12d 747	. . 3 |- ( x = w -> ( ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) <-> ( A. y e. B -. y R w /\ A. y e. A ( w R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
49	48	rmo4 3399	. 2 |- ( E* x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) <-> A. x e. A A. w e. A ( ( ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) /\ ( A. y e. B -. y R w /\ A. y e. A ( w R y -> E. z e. B z R y ) ) ) -> x = w ) )
50	41, 49	sylibr 224	1 |- ( ph -> E* x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   E*wrmo 2915   class class class wbr 4653   Or wor 5034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-po 5035  df-so 5036

This theorem is referenced by:  infeu  8402