Theorem intsaluni 40547

Description: The union of an arbitrary intersection of sigma-algebras on the same set 𝑋, is 𝑋. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
intsaluni.ga	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ SAlg)
intsaluni.gn0	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ ∅)
intsaluni.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐺) → ∪ 𝑠 = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
intsaluni	⊢ (𝜑 → ∪ ∩ 𝐺 = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝐺,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠

Proof of Theorem intsaluni

Dummy variables 𝑥 𝑡 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intsaluni.gn0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ ∅)
2		n0 3931	. . . 4 ⊢ (𝐺 ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠 ∈ 𝐺)
3	2	biimpi 206	. . 3 ⊢ (𝐺 ≠ ∅ → ∃𝑠 𝑠 ∈ 𝐺)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 𝑠 ∈ 𝐺)
5		nfv 1843	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑠𝜑
6		nfv 1843	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑠∪ ∩ 𝐺 = 𝑋
7		intss1 4492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐺 → ∩ 𝐺 ⊆ 𝑠)
8		uniss 4458	. . . . . . . 8 ⊢ (∩ 𝐺 ⊆ 𝑠 → ∪ ∩ 𝐺 ⊆ ∪ 𝑠)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐺 → ∪ ∩ 𝐺 ⊆ ∪ 𝑠)
10	9	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐺) → ∪ ∩ 𝐺 ⊆ ∪ 𝑠)
11		intsaluni.x	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐺) → ∪ 𝑠 = 𝑋)
12	10, 11	sseqtrd 3641	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐺) → ∪ ∩ 𝐺 ⊆ 𝑋)
13	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐺) ∧ 𝑡 ∈ 𝐺) → ∪ 𝑠 = 𝑋)
14		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 ∈ 𝐺 ↔ 𝑡 ∈ 𝐺))
15	14	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐺) ↔ (𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐺)))
16		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ∪ 𝑠 = ∪ 𝑡)
17	16	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (∪ 𝑠 = 𝑋 ↔ ∪ 𝑡 = 𝑋))
18	15, 17	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐺) → ∪ 𝑠 = 𝑋) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐺) → ∪ 𝑡 = 𝑋)))
19	18, 11	chvarv 2263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐺) → ∪ 𝑡 = 𝑋)
20	19	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐺) → 𝑋 = ∪ 𝑡)
21	20	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐺) ∧ 𝑡 ∈ 𝐺) → 𝑋 = ∪ 𝑡)
22	13, 21	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐺) ∧ 𝑡 ∈ 𝐺) → ∪ 𝑠 = ∪ 𝑡)
23		intsaluni.ga	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ SAlg)
24	23	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐺) → 𝑡 ∈ SAlg)
25		saluni 40544	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ SAlg → ∪ 𝑡 ∈ 𝑡)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐺) → ∪ 𝑡 ∈ 𝑡)
27	26	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐺) ∧ 𝑡 ∈ 𝐺) → ∪ 𝑡 ∈ 𝑡)
28	22, 27	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐺) ∧ 𝑡 ∈ 𝐺) → ∪ 𝑠 ∈ 𝑡)
29	28	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐺) → ∀𝑡 ∈ 𝐺 ∪ 𝑠 ∈ 𝑡)
30		uniexg 6955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐺 → ∪ 𝑠 ∈ V)
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐺) → ∪ 𝑠 ∈ V)
32		elintg 4483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∪ 𝑠 ∈ V → (∪ 𝑠 ∈ ∩ 𝐺 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐺 ∪ 𝑠 ∈ 𝑡))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐺) → (∪ 𝑠 ∈ ∩ 𝐺 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐺 ∪ 𝑠 ∈ 𝑡))
34	29, 33	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐺) → ∪ 𝑠 ∈ ∩ 𝐺)
35	34	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∪ 𝑠 ∈ ∩ 𝐺)
36		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
37	11	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐺) → 𝑋 = ∪ 𝑠)
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝑠)
39	36, 38	eleqtrd 2703	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑠)
40		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑠 → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑠))
41	40	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∪ 𝑠 ∈ ∩ 𝐺 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑠) → ∃𝑦 ∈ ∩ 𝐺𝑥 ∈ 𝑦)
42	35, 39, 41	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ ∩ 𝐺𝑥 ∈ 𝑦)
43		eluni2 4440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ ∩ 𝐺 ↔ ∃𝑦 ∈ ∩ 𝐺𝑥 ∈ 𝑦)
44	42, 43	sylibr 224	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ∪ ∩ 𝐺)
45	44	ralrimiva 2966	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐺) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ∈ ∪ ∩ 𝐺)
46		dfss3 3592	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ ∪ ∩ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ∈ ∪ ∩ 𝐺)
47	45, 46	sylibr 224	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐺) → 𝑋 ⊆ ∪ ∩ 𝐺)
48	12, 47	eqssd 3620	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐺) → ∪ ∩ 𝐺 = 𝑋)
49	48	ex 450	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐺 → ∪ ∩ 𝐺 = 𝑋))
50	5, 6, 49	exlimd 2087	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 𝑠 ∈ 𝐺 → ∪ ∩ 𝐺 = 𝑋))
51	4, 50	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∪ ∩ 𝐺 = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ∪ cuni 4436  ∩ cint 4475  SAlgcsalg 40528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-pw 4160  df-uni 4437  df-int 4476  df-salg 40529

This theorem is referenced by:  intsal  40548  salgenuni  40555