Theorem intsaluni 40547

Description: The union of an arbitrary intersection of sigma-algebras on the same set X, is X. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
intsaluni.ga	|- ( ph -> G C_ SAlg )
intsaluni.gn0	|- ( ph -> G =/= (/) )
intsaluni.x	|- ( ( ph /\ s e. G ) -> U. s = X )

Assertion

Ref	Expression
intsaluni	|- ( ph -> U. |^| G = X )

Distinct variable groups:   G, s   X, s   ph, s

Proof of Theorem intsaluni

Dummy variables x t y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intsaluni.gn0	. . 3 |- ( ph -> G =/= (/) )
2		n0 3931	. . . 4 |- ( G =/= (/) <-> E. s s e. G )
3	2	biimpi 206	. . 3 |- ( G =/= (/) -> E. s s e. G )
4	1, 3	syl 17	. 2 |- ( ph -> E. s s e. G )
5		nfv 1843	. . 3 |- F/ s ph
6		nfv 1843	. . 3 |- F/ s U. |^| G = X
7		intss1 4492	. . . . . . . 8 |- ( s e. G -> |^| G C_ s )
8		uniss 4458	. . . . . . . 8 |- ( |^| G C_ s -> U. |^| G C_ U. s )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 |- ( s e. G -> U. |^| G C_ U. s )
10	9	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. G ) -> U. |^| G C_ U. s )
11		intsaluni.x	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. G ) -> U. s = X )
12	10, 11	sseqtrd 3641	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. G ) -> U. |^| G C_ X )
13	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. G ) /\ t e. G ) -> U. s = X )
14		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s = t -> ( s e. G <-> t e. G ) )
15	14	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s = t -> ( ( ph /\ s e. G ) <-> ( ph /\ t e. G ) ) )
16		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s = t -> U. s = U. t )
17	16	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s = t -> ( U. s = X <-> U. t = X ) )
18	15, 17	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s = t -> ( ( ( ph /\ s e. G ) -> U. s = X ) <-> ( ( ph /\ t e. G ) -> U. t = X ) ) )
19	18, 11	chvarv 2263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. G ) -> U. t = X )
20	19	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. G ) -> X = U. t )
21	20	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. G ) /\ t e. G ) -> X = U. t )
22	13, 21	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. G ) /\ t e. G ) -> U. s = U. t )
23		intsaluni.ga	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> G C_ SAlg )
24	23	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. G ) -> t e. SAlg )
25		saluni 40544	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t e. SAlg -> U. t e. t )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. G ) -> U. t e. t )
27	26	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. G ) /\ t e. G ) -> U. t e. t )
28	22, 27	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. G ) /\ t e. G ) -> U. s e. t )
29	28	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. G ) -> A. t e. G U. s e. t )
30		uniexg 6955	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. G -> U. s e. _V )
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. G ) -> U. s e. _V )
32		elintg 4483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U. s e. _V -> ( U. s e. |^| G <-> A. t e. G U. s e. t ) )
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. G ) -> ( U. s e. |^| G <-> A. t e. G U. s e. t ) )
34	29, 33	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. G ) -> U. s e. |^| G )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. G ) /\ x e. X ) -> U. s e. |^| G )
36		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. G ) /\ x e. X ) -> x e. X )
37	11	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. G ) -> X = U. s )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. G ) /\ x e. X ) -> X = U. s )
39	36, 38	eleqtrd 2703	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. G ) /\ x e. X ) -> x e. U. s )
40		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( y = U. s -> ( x e. y <-> x e. U. s ) )
41	40	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( U. s e. |^| G /\ x e. U. s ) -> E. y e. |^| G x e. y )
42	35, 39, 41	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. G ) /\ x e. X ) -> E. y e. |^| G x e. y )
43		eluni2 4440	. . . . . . . 8 |- ( x e. U. |^| G <-> E. y e. |^| G x e. y )
44	42, 43	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. G ) /\ x e. X ) -> x e. U. |^| G )
45	44	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. G ) -> A. x e. X x e. U. |^| G )
46		dfss3 3592	. . . . . 6 |- ( X C_ U. |^| G <-> A. x e. X x e. U. |^| G )
47	45, 46	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. G ) -> X C_ U. |^| G )
48	12, 47	eqssd 3620	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. G ) -> U. |^| G = X )
49	48	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( s e. G -> U. |^| G = X ) )
50	5, 6, 49	exlimd 2087	. 2 |- ( ph -> ( E. s s e. G -> U. |^| G = X ) )
51	4, 50	mpd 15	1 |- ( ph -> U. |^| G = X )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   |^|cint 4475  SAlgcsalg 40528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-pw 4160  df-uni 4437  df-int 4476  df-salg 40529

This theorem is referenced by:  intsal  40548  salgenuni  40555