Theorem itgex 23537

Description: An integral is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itgex	⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ V

Proof of Theorem itgex

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-itg 23392	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑦⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))))
2		sumex 14418	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑦⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0)))) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2697	1 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ⦋csb 3533  ifcif 4086   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936  ici 9938   · cmul 9941   ≤ cle 10075   / cdiv 10684  3c3 11071  ...cfz 12326  ↑cexp 12860  ℜcre 13837  Σcsu 14416  ∫₂citg2 23385  ∫citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-sn 4178  df-pr 4180  df-uni 4437  df-iota 5851  df-sum 14417  df-itg 23392

This theorem is referenced by:  ditgex  23616  ftc1lem1  23798  itgulm  24162  dmarea  24684  dfarea  24687  areaval  24691  ftc1anc  33493  itgsinexp  40170  wallispilem1  40282  wallispilem2  40283