Theorem itgulm 24162

Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgulm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
itgulm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
itgulm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝐿1)
itgulm.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
itgulm.s	⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itgulm	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) ⇝ ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥

Proof of Theorem itgulm

Dummy variables 𝑗 𝑛 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgulm.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		itgulm.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		itgulm.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝐿1)
5		ffn 6045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑍⟶𝐿1 → 𝐹 Fn 𝑍)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
7		itgulm.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
8		ulmf2 24138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
9	6, 7, 8	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
10	9	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
11		eqidd 2623	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑧))
12		eqidd 2623	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
13	7	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
14		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
15		itgulm.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
16	15	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
17		ulmcl 24135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
18		fdm 6051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺:𝑆⟶ℂ → dom 𝐺 = 𝑆)
19	7, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = 𝑆)
20	1, 2, 4, 7, 15	iblulm 24161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐿1)
21		iblmbf 23534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐿1 → 𝐺 ∈ MblFn)
22		mbfdm 23395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ MblFn → dom 𝐺 ∈ dom vol)
23	20, 21, 22	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ dom vol)
24	19, 23	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom vol)
25		mblss 23299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ dom vol → 𝑆 ⊆ ℝ)
26		ovolge0 23249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘𝑆))
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (vol*‘𝑆))
28		mblvol 23298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ dom vol → (vol‘𝑆) = (vol*‘𝑆))
29	24, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) = (vol*‘𝑆))
30	27, 29	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (vol‘𝑆))
31	30	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (vol‘𝑆))
32	16, 31	ge0p1rpd 11902	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ+)
33	14, 32	rpdivcld 11889	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ+)
34	1, 3, 10, 11, 12, 13, 33	ulmi 24140	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
35	1	uztrn2 11705	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑛 ∈ 𝑍)
36	9	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
37		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹‘𝑛):𝑆⟶ℂ)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):𝑆⟶ℂ)
39	38	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
40	39	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
41	40	adantlrr 757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
42	38	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)))
43	4	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝐿1)
44	42, 43	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
45	44	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
46	7, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
47	46	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
48	47	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
49	48	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
50	46	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑥)))
51	50, 20	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
52	51	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
53	41, 45, 49, 52	itgsub 23592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥 = (∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥))
54	53	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥) = (abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)))
55	41, 49	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
56	41, 45, 49, 52	iblsub 23588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
57	55, 56	itgcl 23550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥 ∈ ℂ)
58	57	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥) ∈ ℝ)
59	55	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ)
60	55, 56	iblabs 23595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))) ∈ 𝐿1)
61	59, 60	itgrecl 23564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
62		rpre 11839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
63	62	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
64	55, 56	itgabs 23601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥) ≤ ∫𝑆(abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) d𝑥)
65	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ+)
66	65	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ)
67	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
68	66, 67	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)) ∈ ℝ)
69		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 × {(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
70	24	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 𝑆 ∈ dom vol)
71	65	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℂ)
72		iblconst 23584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℂ) → (𝑆 × {(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))}) ∈ 𝐿1)
73	70, 67, 71, 72	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑆 × {(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))}) ∈ 𝐿1)
74	69, 73	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))) ∈ 𝐿1)
75	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ)
76		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
77		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
78		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑥))
79	77, 78	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
80	79	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
81	80	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))))
82	81	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
83	76, 82	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
84	59, 75, 83	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
85	60, 74, 59, 75, 84	itgle 23576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) d𝑥 ≤ ∫𝑆(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) d𝑥)
86		itgconst 23585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℂ) → ∫𝑆(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) d𝑥 = ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
87	70, 67, 71, 86	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) d𝑥 = ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
88	85, 87	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) d𝑥 ≤ ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
89	63	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
90	67	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (vol‘𝑆) ∈ ℂ)
91	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ+)
92	91	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℂ)
93	91	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ≠ 0)
94	89, 90, 92, 93	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 · (vol‘𝑆)) / ((vol‘𝑆) + 1)) = ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
95	67	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (vol‘𝑆) < ((vol‘𝑆) + 1))
96		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((vol‘𝑆) ∈ ℝ → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ)
97	67, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ)
98		rpgt0 11844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑟)
99	98	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 0 < 𝑟)
100		ltmul2 10874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((vol‘𝑆) ∈ ℝ ∧ ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟)) → ((vol‘𝑆) < ((vol‘𝑆) + 1) ↔ (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1))))
101	67, 97, 63, 99, 100	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) < ((vol‘𝑆) + 1) ↔ (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1))))
102	95, 101	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1)))
103	63, 67	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 · (vol‘𝑆)) ∈ ℝ)
104	103, 63, 91	ltdivmul2d 11924	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (((𝑟 · (vol‘𝑆)) / ((vol‘𝑆) + 1)) < 𝑟 ↔ (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1))))
105	102, 104	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 · (vol‘𝑆)) / ((vol‘𝑆) + 1)) < 𝑟)
106	94, 105	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)) < 𝑟)
107	61, 68, 63, 88, 106	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) d𝑥 < 𝑟)
108	58, 61, 63, 64, 107	lelttrd 10195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥) < 𝑟)
109	54, 108	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟)
110	109	expr 643	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → (abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
111	35, 110	sylan2 491	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → (abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
112	111	anassrs 680	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → (abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
113	112	ralimdva 2962	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
114	113	reximdva 3017	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
115	34, 114	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟)
116	115	ralrimiva 2966	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟)
117		fvex 6201	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ∈ V
118	1, 117	eqeltri 2697	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ V
119	118	mptex 6486	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) ∈ V
120	119	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) ∈ V)
121		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
122	121	fveq1d 6193	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
123	122	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
124	123	itgeq2dv 23548	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥)
125		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
126		itgex 23537	. . . . 5 ⊢ ∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 ∈ V
127	124, 125, 126	fvmpt 6282	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)‘𝑛) = ∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥)
128	127	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)‘𝑛) = ∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥)
129	47, 51	itgcl 23550	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
130	39, 44	itgcl 23550	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
131	1, 2, 120, 128, 129, 130	clim2c 14236	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) ⇝ ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
132	116, 131	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) ⇝ ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  {csn 4177   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  dom cdm 5114   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ℝ⁺crp 11832  abscabs 13974   ⇝ cli 14215  vol*covol 23231  volcvol 23232  MblFncmbf 23383  𝐿¹cibl 23386  ∫citg 23387  ⇝_𝑢culm 24130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-ulm 24131

This theorem is referenced by:  itgulm2  24163