Theorem itgex 23537

Description: An integral is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itgex	|- S. A B _d x e. _V

Proof of Theorem itgex

Dummy variables k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-itg 23392	. 2 |- S. A B _d x = sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) / y ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) ) ) )
2		sumex 14418	. 2 |- sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) / y ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) ) ) ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2697	1 |- S. A B _d x e. _V

Syntax hints:   /\ wa 384   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   [_csb 3533   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   _ici 9938   x. cmul 9941   <_ cle 10075   / cdiv 10684   3c3 11071   ...cfz 12326   ^cexp 12860   Recre 13837   sum_csu 14416   S.2citg2 23385   S.citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-sn 4178  df-pr 4180  df-uni 4437  df-iota 5851  df-sum 14417  df-itg 23392

This theorem is referenced by:  ditgex  23616  ftc1lem1  23798  itgulm  24162  dmarea  24684  dfarea  24687  areaval  24691  ftc1anc  33493  itgsinexp  40170  wallispilem1  40282  wallispilem2  40283