Theorem ftc1lem1 23798

Description: Lemma for ftc1a 23800 and ftc1 23805. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc1.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
ftc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ftc1.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1a.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
ftc1lem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1lem1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Assertion

Ref	Expression
ftc1lem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐷   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝑡,𝑋,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑡,𝑌,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftc1lem1.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2		oveq2 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑌))
3		itgeq1 23539	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑌) → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
5		ftc1.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
6		itgex 23537	. . . . . . 7 ⊢ ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6282	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐺‘𝑌) = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
9	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝐺‘𝑌) = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
10		ftc1.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ)
12		ftc1.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
13		iccssre 12255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
14	10, 12, 13	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
15	14, 1	sseldd 3604	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
16	15	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
17		ftc1lem1.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
18	14, 17	sseldd 3604	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
19	18	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
20		elicc2 12238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
21	10, 12, 20	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
22	17, 21	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵))
23	22	simp2d 1074	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑋)
24	23	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝐴 ≤ 𝑋)
25		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌)
26		elicc2 12238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌)))
27	10, 15, 26	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌)))
28	27	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌)))
29	19, 24, 25, 28	mpbir3and 1245	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌))
30	12	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
31		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵)))
32	10, 12, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵)))
33	1, 32	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵))
34	33	simp3d 1075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝐵)
35		iooss2 12211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
36	30, 34, 35	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
37		ftc1.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
38	36, 37	sstrd 3613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
39	38	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
40	39	sselda 3603	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ 𝐷)
41		ftc1a.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
42	41	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
43	42	adantlr 751	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
44	40, 43	syldan 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑌)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
45	22	simp3d 1075	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝐵)
46		iooss2 12211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
47	30, 45, 46	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
48	47, 37	sstrd 3613	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑋) ⊆ 𝐷)
49		ioombl 23333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴(,)𝑋) ∈ dom vol
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑋) ∈ dom vol)
51		fvexd 6203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑡) ∈ V)
52	41	feqmptd 6249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)))
53		ftc1.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
54	52, 53	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
55	48, 50, 51, 54	iblss 23571	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
56	55	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
57	10	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
58		iooss1 12210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑋) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
59	57, 23, 58	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
60	59, 36	sstrd 3613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
61	60, 37	sstrd 3613	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
62		ioombl 23333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol)
64	61, 63, 51, 54	iblss 23571	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
65	64	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
66	11, 16, 29, 44, 56, 65	itgsplitioo 23604	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = (∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡))
67	9, 66	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝐺‘𝑌) = (∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡))
68		oveq2 6658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑋))
69		itgeq1 23539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑋) → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
70	68, 69	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
71		itgex 23537	. . . . . 6 ⊢ ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 ∈ V
72	70, 5, 71	fvmpt 6282	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐺‘𝑋) = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
73	17, 72	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
74	73	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝐺‘𝑋) = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
75	67, 74	oveq12d 6668	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ((∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡) − ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡))
76		fvexd 6203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → (𝐹‘𝑡) ∈ V)
77	76, 55	itgcl 23550	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
78	61	sselda 3603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ 𝐷)
79	78, 42	syldan 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
80	79, 64	itgcl 23550	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
81	77, 80	pncan2d 10394	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡) − ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
82	81	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡) − ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
83	75, 82	eqtrd 2656	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935   + caddc 9939  ℝ^*cxr 10073   ≤ cle 10075   − cmin 10266  (,)cioo 12175  [,]cicc 12178  volcvol 23232  𝐿¹cibl 23386  ∫citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  ftc1a  23800  ftc1lem4  23802  ftc1cnnclem  33483