Theorem onmindif2 7012

Description: The minimum of a class of ordinal numbers is less than the minimum of that class with its minimum removed. (Contributed by NM, 20-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onmindif2	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ ∩ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴}))

Proof of Theorem onmindif2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4317	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∩ 𝐴))
2		onnmin 7003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
3	2	adantlr 751	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
4		oninton 7000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ On)
5	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ∈ On)
6		ssel2 3598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
7	6	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
8		ontri1 5757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∩ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∩ 𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
9		onsseleq 5765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∩ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∩ 𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ (∩ 𝐴 ∈ 𝑥 ∨ ∩ 𝐴 = 𝑥)))
10	8, 9	bitr3d 270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∩ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ↔ (∩ 𝐴 ∈ 𝑥 ∨ ∩ 𝐴 = 𝑥)))
11	5, 7, 10	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ↔ (∩ 𝐴 ∈ 𝑥 ∨ ∩ 𝐴 = 𝑥)))
12	3, 11	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∩ 𝐴 ∈ 𝑥 ∨ ∩ 𝐴 = 𝑥))
13	12	ord 392	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ ∩ 𝐴 ∈ 𝑥 → ∩ 𝐴 = 𝑥))
14		eqcom 2629	. . . . . . 7 ⊢ (∩ 𝐴 = 𝑥 ↔ 𝑥 = ∩ 𝐴)
15	13, 14	syl6ib 241	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ ∩ 𝐴 ∈ 𝑥 → 𝑥 = ∩ 𝐴))
16	15	necon1ad 2811	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≠ ∩ 𝐴 → ∩ 𝐴 ∈ 𝑥))
17	16	expimpd 629	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∩ 𝐴) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑥))
18	1, 17	syl5bi 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴}) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑥))
19	18	ralrimiv 2965	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴})∩ 𝐴 ∈ 𝑥)
20		intex 4820	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝐴 ∈ V)
21		elintg 4483	. . . 4 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → (∩ 𝐴 ∈ ∩ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴})∩ 𝐴 ∈ 𝑥))
22	20, 21	sylbi 207	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∩ 𝐴 ∈ ∩ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴})∩ 𝐴 ∈ 𝑥))
23	22	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∩ 𝐴 ∈ ∩ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴})∩ 𝐴 ∈ 𝑥))
24	19, 23	mpbird 247	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ ∩ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177  ∩ cint 4475  Oncon0 5723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727

This theorem is referenced by: (None)