Theorem predpo 5698

Description: Property of the precessor class for partial orderings. (Contributed by Scott Fenton, 28-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
predpo	⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))

Proof of Theorem predpo

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		predel 5697	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝐴)
2		elpredg 5694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ 𝑌𝑅𝑋))
3	2	adantll 750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ 𝑌𝑅𝑋))
4		potr 5047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) → ((𝑧𝑅𝑌 ∧ 𝑌𝑅𝑋) → 𝑧𝑅𝑋))
5	4	3exp2 1285	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝑧𝑅𝑌 ∧ 𝑌𝑅𝑋) → 𝑧𝑅𝑋)))))
6	5	com24 95	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧𝑅𝑌 ∧ 𝑌𝑅𝑋) → 𝑧𝑅𝑋)))))
7	6	imp31 448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧𝑅𝑌 ∧ 𝑌𝑅𝑋) → 𝑧𝑅𝑋)))
8	7	com13 88	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧𝑅𝑌 ∧ 𝑌𝑅𝑋) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑧𝑅𝑋)))
9	8	ex 450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧𝑅𝑌 → (𝑌𝑅𝑋 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑧𝑅𝑋))))
10	9	com14 96	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑌𝑅𝑋 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑧𝑅𝑌 → 𝑧𝑅𝑋))))
11	3, 10	sylbid 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑧𝑅𝑌 → 𝑧𝑅𝑋))))
12	11	ex 450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑧𝑅𝑌 → 𝑧𝑅𝑋)))))
13	12	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑧𝑅𝑌 → 𝑧𝑅𝑋)))))
14	13	3imp 1256	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑧𝑅𝑌 → 𝑧𝑅𝑋)))
15	14	imdistand 728	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑌) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑋)))
16		vex 3203	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
17	16	elpred 5693	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑌)))
18	17	3ad2ant3 1084	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑌)))
19	16	elpred 5693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑋)))
20	19	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑋)))
21	20	3ad2ant1 1082	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑋)))
22	15, 18, 21	3imtr4d 283	. . . 4 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) → 𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
23	22	ssrdv 3609	. . 3 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
24	23	3exp 1264	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑌 ∈ 𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))
25	1, 24	mpdi 45	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653   Po wpo 5033  Predcpred 5679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-po 5035  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680

This theorem is referenced by:  predso  5699  trpredpo  31735