Theorem sgnval 13828

Description: Value of Signum function. Pronounced "signum" . See df-sgn 13827. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgnval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))

Proof of Theorem sgnval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2626	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
2		breq1 4656	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 < 0 ↔ 𝐴 < 0))
3	2	ifbid 4108	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, -1, 1))
4	1, 3	ifbieq2d 4111	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
5		df-sgn 13827	. 2 ⊢ sgn = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
6		c0ex 10034	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
7		negex 10279	. . . 4 ⊢ -1 ∈ V
8		1ex 10035	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
9	7, 8	ifex 4156	. . 3 ⊢ if(𝐴 < 0, -1, 1) ∈ V
10	6, 9	ifex 4156	. 2 ⊢ if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) ∈ V
11	4, 5, 10	fvmpt 6282	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ifcif 4086   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  0cc0 9936  1c1 9937  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074  -cneg 10267  sgncsgn 13826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-mulcl 9998  ax-i2m1 10004

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-neg 10269  df-sgn 13827

This theorem is referenced by:  sgn0  13829  sgnp  13830  sgnn  13834  sgnneg  30602  sgn3da  30603