Theorem trsbcVD 39113

Description: Formula-building inference rule for class substitution, substituting a class variable for the setvar variable of the transitivity predicate. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. trsbc 38750 is trsbcVD 39113 without virtual deductions and was automatically derived from trsbcVD 39113.

1::	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   𝐴 ∈ 𝐵   )
2:1:	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ 𝑦)   )
3:1:	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴)   )
4:1:	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴)   )
5:1,2,3,4:	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   (([𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝑥 → [𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝐴)))   )
6:1:	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝑥 → [𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑥)))   )
7:5,6:	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝐴)))   )
8::	⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝐴)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))
9:7,8:	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))   )
10::	⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
11:10:	⊢ ∀𝑥((𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
12:1,11:	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ [𝐴 / 𝑥]((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))   )
13:9,12:	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))   )
14:13:	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ∀𝑦([𝐴 / 𝑥]((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))   )
15:14:	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   (∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))   )
16:1:	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))   )
17:15,16:	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))   )
18:17:	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ∀𝑧([𝐴 / 𝑥]∀𝑦(( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))   )
19:18:	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   (∀𝑧[𝐴 / 𝑥]∀𝑦(( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))   )
20:1:	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]∀𝑧∀𝑦(( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑧[𝐴 / 𝑥]∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))   )
21:19,20:	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]∀𝑧∀𝑦(( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))   )
22::	⊢ (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))
23:21,22:	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]∀𝑧∀𝑦(( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ Tr 𝐴)   )
24::	⊢ (Tr 𝑥 ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
25:24:	⊢ ∀𝑥(Tr 𝑥 ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
26:1,25:	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ [𝐴 / 𝑥]∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))   )
27:23,26:	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ Tr 𝐴)   )
qed:27:	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ Tr 𝐴))

(Contributed by Alan Sare, 18-Mar-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
trsbcVD	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ Tr 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem trsbcVD

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idn1 38790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   𝐴 ∈ 𝐵   )
2		biidd 252	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ 𝑦))
3	2	sbcieg 3468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ 𝑦))
4	1, 3	e1a 38852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ 𝑦)   )
5		sbcel2gv 3496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
6	1, 5	e1a 38852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴)   )
7		sbcel2gv 3496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
8	1, 7	e1a 38852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴)   )
9		imbi13 38726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (([𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ 𝑦) → (([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴) → (([𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴) → (([𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝑥 → [𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝐴))))))
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (([𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ 𝑦) → (([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴) → (([𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴) → (([𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝑥 → [𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝐴)))))))
11	1, 4, 6, 8, 10	e1111 38900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   (([𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝑥 → [𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝐴)))   )
12		sbcim2g 38748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ([𝐴 / 𝑥](𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝑥 → [𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑥))))
13	1, 12	e1a 38852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝑥 → [𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑥)))   )
14		bibi1 341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (([𝐴 / 𝑥](𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝑥 → [𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑥))) → (([𝐴 / 𝑥](𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝐴))) ↔ (([𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝑥 → [𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝐴)))))
15	14	biimprcd 240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((([𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝑥 → [𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝐴))) → (([𝐴 / 𝑥](𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝑥 → [𝐴 / 𝑥]𝑧 ∈ 𝑥))) → ([𝐴 / 𝑥](𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝐴)))))
16	11, 13, 15	e11 38913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝐴)))   )
17		pm3.31 461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))
18		pm3.3 460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝐴)))
19	17, 18	impbii 199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝐴)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))
20		bibi1 341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (([𝐴 / 𝑥](𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝐴))) → (([𝐴 / 𝑥](𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝐴)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))))
21	20	biimprd 238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (([𝐴 / 𝑥](𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝐴))) → (((𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝐴)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)) → ([𝐴 / 𝑥](𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))))
22	16, 19, 21	e10 38919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))   )
23		pm3.31 461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
24		pm3.3 460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
25	23, 24	impbii 199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
26	25	ax-gen 1722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∀𝑥((𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
27		sbcbi 38749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥((𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)) → ([𝐴 / 𝑥](𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ [𝐴 / 𝑥]((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))))
28	1, 26, 27	e10 38919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ [𝐴 / 𝑥]((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))   )
29		bitr3 342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (([𝐴 / 𝑥](𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ [𝐴 / 𝑥]((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)) → (([𝐴 / 𝑥](𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)) → ([𝐴 / 𝑥]((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))))
30	29	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (([𝐴 / 𝑥](𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)) → (([𝐴 / 𝑥](𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ [𝐴 / 𝑥]((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)) → ([𝐴 / 𝑥]((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))))
31	22, 28, 30	e11 38913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))   )
32	31	gen11 38841	. . . . . . . . 9 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ∀𝑦([𝐴 / 𝑥]((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))   )
33		albi 1746	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦([𝐴 / 𝑥]((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)) → (∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)))
34	32, 33	e1a 38852	. . . . . . . 8 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   (∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))   )
35		sbcalgOLD 38752	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)))
36	1, 35	e1a 38852	. . . . . . . 8 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))   )
37		bibi1 341	. . . . . . . . 9 ⊢ (([𝐴 / 𝑥]∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)) → (([𝐴 / 𝑥]∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)) ↔ (∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))))
38	37	biimprcd 240	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)) → (([𝐴 / 𝑥]∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)) → ([𝐴 / 𝑥]∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))))
39	34, 36, 38	e11 38913	. . . . . . 7 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))   )
40	39	gen11 38841	. . . . . 6 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ∀𝑧([𝐴 / 𝑥]∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))   )
41		albi 1746	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧([𝐴 / 𝑥]∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)) → (∀𝑧[𝐴 / 𝑥]∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)))
42	40, 41	e1a 38852	. . . . 5 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   (∀𝑧[𝐴 / 𝑥]∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))   )
43		sbcalgOLD 38752	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑧[𝐴 / 𝑥]∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)))
44	1, 43	e1a 38852	. . . . 5 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑧[𝐴 / 𝑥]∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))   )
45		bibi1 341	. . . . . 6 ⊢ (([𝐴 / 𝑥]∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑧[𝐴 / 𝑥]∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)) → (([𝐴 / 𝑥]∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)) ↔ (∀𝑧[𝐴 / 𝑥]∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))))
46	45	biimprcd 240	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧[𝐴 / 𝑥]∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)) → (([𝐴 / 𝑥]∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑧[𝐴 / 𝑥]∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)) → ([𝐴 / 𝑥]∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))))
47	42, 44, 46	e11 38913	. . . 4 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))   )
48		dftr2 4754	. . . 4 ⊢ (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))
49		biantr 972	. . . . 5 ⊢ ((([𝐴 / 𝑥]∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))) → ([𝐴 / 𝑥]∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ Tr 𝐴))
50	49	ex 450	. . . 4 ⊢ (([𝐴 / 𝑥]∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((Tr 𝐴 ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)) → ([𝐴 / 𝑥]∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ Tr 𝐴)))
51	47, 48, 50	e10 38919	. . 3 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ Tr 𝐴)   )
52		dftr2 4754	. . . . 5 ⊢ (Tr 𝑥 ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
53	52	ax-gen 1722	. . . 4 ⊢ ∀𝑥(Tr 𝑥 ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
54		sbcbi 38749	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥(Tr 𝑥 ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)) → ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ [𝐴 / 𝑥]∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))))
55	1, 53, 54	e10 38919	. . 3 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ [𝐴 / 𝑥]∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))   )
56		bibi1 341	. . . 4 ⊢ (([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ [𝐴 / 𝑥]∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)) → (([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ Tr 𝐴) ↔ ([𝐴 / 𝑥]∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ Tr 𝐴)))
57	56	biimprcd 240	. . 3 ⊢ (([𝐴 / 𝑥]∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ Tr 𝐴) → (([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ [𝐴 / 𝑥]∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)) → ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ Tr 𝐴)))
58	51, 55, 57	e11 38913	. 2 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ Tr 𝐴)   )
59	58	in1 38787	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ Tr 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384  ∀wal 1481   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  [wsbc 3435  Tr wtr 4752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-v 3202  df-sbc 3436  df-in 3581  df-ss 3588  df-uni 4437  df-tr 4753  df-vd1 38786

This theorem is referenced by: (None)