Theorem wnefimgd 38460

Description: The image of a mapping from A is non empty if A is non empty. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
wnefimgd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
wnefimgd.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
wnefimgd	⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem wnefimgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3624	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
2		wnefimgd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
3		fdm 6051	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	1, 4	syl5sseqr 3654	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
6		sseqin2 3817	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐹 ↔ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) = 𝐴)
7	5, 6	sylib 208	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐴) = 𝐴)
8		wnefimgd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
9	7, 8	eqnetrd 2861	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
10		imadisj 5484	. . 3 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) = ∅ ↔ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) = ∅)
11	10	necon3bii 2846	. 2 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) ≠ ∅ ↔ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
12	9, 11	sylibr 224	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐴) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ≠ wne 2794   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  dom cdm 5114   “ cima 5117  ⟶wf 5884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-fn 5891  df-f 5892

This theorem is referenced by:  imo72b2lem0  38465  imo72b2lem2  38467  imo72b2lem1  38471  imo72b2  38475