Theorem 1st0 5791

Description: The value of the first-member function at the empty set. (Contributed by NM, 23-Apr-2007.)

Assertion

Ref	Expression
1st0	|- ( 1st ` (/) ) = (/)

Proof of Theorem 1st0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 3905	. . 3 |- (/) e. _V
2		1stvalg 5789	. . 3 |- ( (/) e. _V -> ( 1st ` (/) ) = U. dom { (/) } )
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- ( 1st ` (/) ) = U. dom { (/) }
4		dmsn0 4808	. . 3 |- dom { (/) } = (/)
5	4	unieqi 3611	. 2 |- U. dom { (/) } = U. (/)
6		uni0 3628	. 2 |- U. (/) = (/)
7	3, 5, 6	3eqtri 2105	1 |- ( 1st ` (/) ) = (/)

Syntax hints:   = wceq 1284   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   (/)c0 3251   {csn 3398   U.cuni 3601   dom cdm 4363   ` cfv 4922   1stc1st 5785

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-1st 5787

This theorem is referenced by:  0npr  6673