Theorem dmsn0 4808

Description: The domain of the singleton of the empty set is empty. (Contributed by NM, 30-Jan-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmsn0	|- dom { (/) } = (/)

Proof of Theorem dmsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4390	. . . 4 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
2		dmsnm 4806	. . . 4 |- ( (/) e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { (/) } )
3	1, 2	mtbi 627	. . 3 |- -. E. x x e. dom { (/) }
4		alnex 1428	. . 3 |- ( A. x -. x e. dom { (/) } <-> -. E. x x e. dom { (/) } )
5	3, 4	mpbir 144	. 2 |- A. x -. x e. dom { (/) }
6		eq0 3266	. 2 |- ( dom { (/) } = (/) <-> A. x -. x e. dom { (/) } )
7	5, 6	mpbir 144	1 |- dom { (/) } = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   A.wal 1282   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   (/)c0 3251   {csn 3398   X. cxp 4361   dom cdm 4363

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-dm 4373

This theorem is referenced by:  cnvsn0  4809  1st0  5791  2nd0  5792