Theorem caovlem2d 5713

Description: Rearrangement of expression involving multiplication ( G) and addition ( F). (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caovdilemd.com	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x G y ) = ( y G x ) )
caovdilemd.distr	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x F y ) G z ) = ( ( x G z ) F ( y G z ) ) )
caovdilemd.ass	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
caovdilemd.cl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x G y ) e. S )
caovdilemd.a	|- ( ph -> A e. S )
caovdilemd.b	|- ( ph -> B e. S )
caovdilemd.c	|- ( ph -> C e. S )
caovdilemd.d	|- ( ph -> D e. S )
caovdilemd.h	|- ( ph -> H e. S )
caovdl2.6	|- ( ph -> R e. S )
caovdl2.com	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) = ( y F x ) )
caovdl2.ass	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x F y ) F z ) = ( x F ( y F z ) ) )
caovdl2.cl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
caovlem2d	|- ( ph -> ( ( ( ( A G C ) F ( B G D ) ) G H ) F ( ( ( A G D ) F ( B G C ) ) G R ) ) = ( ( A G ( ( C G H ) F ( D G R ) ) ) F ( B G ( ( C G R ) F ( D G H ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z   x, D, y, z   ph, x, y, z   x, F, y, z   x, G, y, z   x, H, y, z   x, R, y, z   x, S, y, z

Proof of Theorem caovlem2d

Dummy variables s r t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caovdilemd.cl	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x G y ) e. S )
2		caovdilemd.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. S )
3		caovdilemd.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. S )
4		caovdilemd.h	. . . . 5 |- ( ph -> H e. S )
5	1, 3, 4	caovcld 5674	. . . 4 |- ( ph -> ( C G H ) e. S )
6	1, 2, 5	caovcld 5674	. . 3 |- ( ph -> ( A G ( C G H ) ) e. S )
7		caovdilemd.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. S )
8		caovdilemd.d	. . . . 5 |- ( ph -> D e. S )
9	1, 8, 4	caovcld 5674	. . . 4 |- ( ph -> ( D G H ) e. S )
10	1, 7, 9	caovcld 5674	. . 3 |- ( ph -> ( B G ( D G H ) ) e. S )
11		caovdl2.6	. . . . 5 |- ( ph -> R e. S )
12	1, 8, 11	caovcld 5674	. . . 4 |- ( ph -> ( D G R ) e. S )
13	1, 2, 12	caovcld 5674	. . 3 |- ( ph -> ( A G ( D G R ) ) e. S )
14		caovdl2.com	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) = ( y F x ) )
15		caovdl2.ass	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x F y ) F z ) = ( x F ( y F z ) ) )
16	1, 3, 11	caovcld 5674	. . . 4 |- ( ph -> ( C G R ) e. S )
17	1, 7, 16	caovcld 5674	. . 3 |- ( ph -> ( B G ( C G R ) ) e. S )
18		caovdl2.cl	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
19	6, 10, 13, 14, 15, 17, 18	caov42d 5707	. 2 |- ( ph -> ( ( ( A G ( C G H ) ) F ( B G ( D G H ) ) ) F ( ( A G ( D G R ) ) F ( B G ( C G R ) ) ) ) = ( ( ( A G ( C G H ) ) F ( A G ( D G R ) ) ) F ( ( B G ( C G R ) ) F ( B G ( D G H ) ) ) ) )
20		caovdilemd.com	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x G y ) = ( y G x ) )
21		caovdilemd.distr	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x F y ) G z ) = ( ( x G z ) F ( y G z ) ) )
22		caovdilemd.ass	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
23	20, 21, 22, 1, 2, 7, 3, 8, 4	caovdilemd 5712	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( A G C ) F ( B G D ) ) G H ) = ( ( A G ( C G H ) ) F ( B G ( D G H ) ) ) )
24	20, 21, 22, 1, 2, 7, 8, 3, 11	caovdilemd 5712	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( A G D ) F ( B G C ) ) G R ) = ( ( A G ( D G R ) ) F ( B G ( C G R ) ) ) )
25	23, 24	oveq12d 5550	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( A G C ) F ( B G D ) ) G H ) F ( ( ( A G D ) F ( B G C ) ) G R ) ) = ( ( ( A G ( C G H ) ) F ( B G ( D G H ) ) ) F ( ( A G ( D G R ) ) F ( B G ( C G R ) ) ) ) )
26		simpr1 944	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> x e. S )
27	18	caovclg 5673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. S /\ s e. S ) ) -> ( r F s ) e. S )
28	27	caovclg 5673	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y F z ) e. S )
29	28	3adantr1 1097	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y F z ) e. S )
30	26, 29	jca 300	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x e. S /\ ( y F z ) e. S ) )
31	20	caovcomg 5676	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( r e. S /\ s e. S ) ) -> ( r G s ) = ( s G r ) )
32	31	caovcomg 5676	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ ( y F z ) e. S ) ) -> ( x G ( y F z ) ) = ( ( y F z ) G x ) )
33	30, 32	syldan 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x G ( y F z ) ) = ( ( y F z ) G x ) )
34		3anrot 924	. . . . . 6 |- ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) <-> ( y e. S /\ z e. S /\ x e. S ) )
35	21	caovdirg 5698	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( r e. S /\ s e. S /\ t e. S ) ) -> ( ( r F s ) G t ) = ( ( r G t ) F ( s G t ) ) )
36	35	caovdirg 5698	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ z e. S /\ x e. S ) ) -> ( ( y F z ) G x ) = ( ( y G x ) F ( z G x ) ) )
37	34, 36	sylan2b 281	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y F z ) G x ) = ( ( y G x ) F ( z G x ) ) )
38	20	eqcomd 2086	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( y G x ) = ( x G y ) )
39	38	3adantr3 1099	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y G x ) = ( x G y ) )
40	31	caovcomg 5676	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ x e. S ) ) -> ( z G x ) = ( x G z ) )
41	40	ancom2s 530	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( z G x ) = ( x G z ) )
42	41	3adantr2 1098	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( z G x ) = ( x G z ) )
43	39, 42	oveq12d 5550	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y G x ) F ( z G x ) ) = ( ( x G y ) F ( x G z ) ) )
44	33, 37, 43	3eqtrd 2117	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x G ( y F z ) ) = ( ( x G y ) F ( x G z ) ) )
45	44, 2, 5, 12	caovdid 5696	. . 3 |- ( ph -> ( A G ( ( C G H ) F ( D G R ) ) ) = ( ( A G ( C G H ) ) F ( A G ( D G R ) ) ) )
46	44, 7, 16, 9	caovdid 5696	. . 3 |- ( ph -> ( B G ( ( C G R ) F ( D G H ) ) ) = ( ( B G ( C G R ) ) F ( B G ( D G H ) ) ) )
47	45, 46	oveq12d 5550	. 2 |- ( ph -> ( ( A G ( ( C G H ) F ( D G R ) ) ) F ( B G ( ( C G R ) F ( D G H ) ) ) ) = ( ( ( A G ( C G H ) ) F ( A G ( D G R ) ) ) F ( ( B G ( C G R ) ) F ( B G ( D G H ) ) ) ) )
48	19, 25, 47	3eqtr4d 2123	1 |- ( ph -> ( ( ( ( A G C ) F ( B G D ) ) G H ) F ( ( ( A G D ) F ( B G C ) ) G R ) ) = ( ( A G ( ( C G H ) F ( D G R ) ) ) F ( B G ( ( C G R ) F ( D G H ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433  (class class class)co 5532

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-iota 4887  df-fv 4930  df-ov 5535

This theorem is referenced by:  mulasssrg  6935