ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cjreb Unicode version
Theorem cjreb 9753
Description: A number is real iff it equals its complex conjugate. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjreb |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( * ` A ) = A ) )
Proof of Theorem cjreb
StepHypRef Expression
1 recl 9740 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
21recnd 7147 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
3 ax-icn 7071 . . . . . 6 |- _i e. CC
4 imcl 9741 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
54recnd 7147 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
6 mulcl 7100 . . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
73, 5, 6sylancr 405 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
82, 7negsubd 7425 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
9 mulneg2 7500 . . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
103, 5, 9sylancr 405 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
1110oveq2d 5548 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) + -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
12 remim 9747 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
138, 11, 123eqtr4rd 2124 . . 3 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) )
14 replim 9746 . . 3 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
1513, 14eqeq12d 2095 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( * ` A ) = A <-> ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
165negcld 7406 . . . 4 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. CC )
17 mulcl 7100 . . . 4 |- ( ( _i e. CC /\ -u ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) e. CC )
183, 16, 17sylancr 405 . . 3 |- ( A e. CC -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) e. CC )
192, 18, 7addcand 7292 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) <-> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
20 eqcom 2083 . . . 4 |- ( -u ( Im ` A ) = ( Im ` A ) <-> ( Im ` A ) = -u ( Im ` A ) )
215eqnegd 7821 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) = -u ( Im ` A ) <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
2220, 21syl5bb 190 . . 3 |- ( A e. CC -> ( -u ( Im ` A ) = ( Im ` A ) <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
23 iap0 8254 . . . . . 6 |- _i # 0
243, 23pm3.2i 266 . . . . 5 |- ( _i e. CC /\ _i # 0 )
2524a1i 9 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( _i e. CC /\ _i # 0 ) )
26 mulcanap 7755 . . . 4 |- ( ( -u ( Im ` A ) e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC /\ ( _i e. CC /\ _i # 0 ) ) -> ( ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( Im ` A ) ) <-> -u ( Im ` A ) = ( Im ` A ) ) )
2716, 5, 25, 26syl3anc 1169 . . 3 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( Im ` A ) ) <-> -u ( Im ` A ) = ( Im ` A ) ) )
28 reim0b 9749 . . 3 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
2922, 27, 283bitr4d 218 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( Im ` A ) ) <-> A e. RR ) )
3015, 19, 293bitrrd 213 1 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( * ` A ) = A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   CCcc 6979   RRcr 6980   0cc0 6981   _ici 6983   + caddc 6984   x. cmul 6986   - cmin 7279   -ucneg 7280   # cap 7681   *ccj 9726   Recre 9727   Imcim 9728
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-2 8098  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731
This theorem is referenced by:  cjre  9769  cjmulrcl  9774  cjrebi  9805  cjrebd  9833
  Copyright terms: Public domain W3C validator