Theorem cnegexlem3 7285

Description: Existence of real number difference. Lemma for cnegex 7286. (Contributed by Eric Schmidt, 22-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnegexlem3	|- ( ( b e. RR /\ y e. RR ) -> E. c e. RR ( b + c ) = y )

Distinct variable group:   b, c, y

Proof of Theorem cnegexlem3

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readdcl 7099	. . . . . 6 |- ( ( b e. RR /\ x e. RR ) -> ( b + x ) e. RR )
2		ax-rnegex 7085	. . . . . 6 |- ( ( b + x ) e. RR -> E. c e. RR ( ( b + x ) + c ) = 0 )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( ( b e. RR /\ x e. RR ) -> E. c e. RR ( ( b + x ) + c ) = 0 )
4	3	adantlr 460	. . . 4 |- ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) -> E. c e. RR ( ( b + x ) + c ) = 0 )
5	4	adantr 270	. . 3 |- ( ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) -> E. c e. RR ( ( b + x ) + c ) = 0 )
6		recn 7106	. . . . . . . 8 |- ( b e. RR -> b e. CC )
7		recn 7106	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> y e. CC )
8	6, 7	anim12i 331	. . . . . . 7 |- ( ( b e. RR /\ y e. RR ) -> ( b e. CC /\ y e. CC ) )
9	8	anim1i 333	. . . . . 6 |- ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) )
10	9	anim1i 333	. . . . 5 |- ( ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) -> ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) )
11		recn 7106	. . . . 5 |- ( c e. RR -> c e. CC )
12		recn 7106	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> x e. CC )
13		add32 7267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. CC /\ x e. CC /\ c e. CC ) -> ( ( b + x ) + c ) = ( ( b + c ) + x ) )
14	13	3expa 1138	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b e. CC /\ x e. CC ) /\ c e. CC ) -> ( ( b + x ) + c ) = ( ( b + c ) + x ) )
15		addcl 7098	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC ) -> ( b + c ) e. CC )
16		addcom 7245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b + c ) e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( b + c ) + x ) = ( x + ( b + c ) ) )
17	15, 16	sylan 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. CC /\ c e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( b + c ) + x ) = ( x + ( b + c ) ) )
18	17	an32s 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b e. CC /\ x e. CC ) /\ c e. CC ) -> ( ( b + c ) + x ) = ( x + ( b + c ) ) )
19	14, 18	eqtr2d 2114	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( b e. CC /\ x e. CC ) /\ c e. CC ) -> ( x + ( b + c ) ) = ( ( b + x ) + c ) )
20	12, 19	sylanl2 395	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b e. CC /\ x e. RR ) /\ c e. CC ) -> ( x + ( b + c ) ) = ( ( b + x ) + c ) )
21	20	adantllr 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ c e. CC ) -> ( x + ( b + c ) ) = ( ( b + x ) + c ) )
22	21	adantlr 460	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) /\ c e. CC ) -> ( x + ( b + c ) ) = ( ( b + x ) + c ) )
23		addcom 7245	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) = ( y + x ) )
24	23	ancoms 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( x + y ) = ( y + x ) )
25	12, 24	sylan2 280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. CC /\ x e. RR ) -> ( x + y ) = ( y + x ) )
26		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y + x ) = 0 -> ( y + x ) = 0 )
27	25, 26	sylan9eq 2133	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. CC /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) -> ( x + y ) = 0 )
28	27	adantlll 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) -> ( x + y ) = 0 )
29	28	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) /\ c e. CC ) -> ( x + y ) = 0 )
30	22, 29	eqeq12d 2095	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) /\ c e. CC ) -> ( ( x + ( b + c ) ) = ( x + y ) <-> ( ( b + x ) + c ) = 0 ) )
31		simplr 496	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ c e. CC ) -> x e. RR )
32	15	adantlr 460	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ c e. CC ) -> ( b + c ) e. CC )
33	32	adantlr 460	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ c e. CC ) -> ( b + c ) e. CC )
34		simpllr 500	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ c e. CC ) -> y e. CC )
35		cnegexlem1 7283	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ ( b + c ) e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( x + ( b + c ) ) = ( x + y ) <-> ( b + c ) = y ) )
36	31, 33, 34, 35	syl3anc 1169	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ c e. CC ) -> ( ( x + ( b + c ) ) = ( x + y ) <-> ( b + c ) = y ) )
37	36	adantlr 460	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) /\ c e. CC ) -> ( ( x + ( b + c ) ) = ( x + y ) <-> ( b + c ) = y ) )
38	30, 37	bitr3d 188	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) /\ c e. CC ) -> ( ( ( b + x ) + c ) = 0 <-> ( b + c ) = y ) )
39	10, 11, 38	syl2an 283	. . . 4 |- ( ( ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) /\ c e. RR ) -> ( ( ( b + x ) + c ) = 0 <-> ( b + c ) = y ) )
40	39	rexbidva 2365	. . 3 |- ( ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) -> ( E. c e. RR ( ( b + x ) + c ) = 0 <-> E. c e. RR ( b + c ) = y ) )
41	5, 40	mpbid 145	. 2 |- ( ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) -> E. c e. RR ( b + c ) = y )
42		ax-rnegex 7085	. . 3 |- ( y e. RR -> E. x e. RR ( y + x ) = 0 )
43	42	adantl 271	. 2 |- ( ( b e. RR /\ y e. RR ) -> E. x e. RR ( y + x ) = 0 )
44	41, 43	r19.29a 2498	1 |- ( ( b e. RR /\ y e. RR ) -> E. c e. RR ( b + c ) = y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   E.wrex 2349  (class class class)co 5532   CCcc 6979   RRcr 6980   0cc0 6981   + caddc 6984

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-i2m1 7081  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-iota 4887  df-fv 4930  df-ov 5535

This theorem is referenced by:  cnegex  7286