Theorem cnvresid 4993

Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnvresid	|- `' ( _I |` A ) = ( _I |` A )

Proof of Theorem cnvresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvi 4748	. . 3 |- `' _I = _I
2	1	eqcomi 2085	. 2 |- _I = `' _I
3		funi 4952	. . 3 |- Fun _I
4		funeq 4941	. . 3 |- ( _I = `' _I -> ( Fun _I <-> Fun `' _I ) )
5	3, 4	mpbii 146	. 2 |- ( _I = `' _I -> Fun `' _I )
6		funcnvres 4992	. . 3 |- ( Fun `' _I -> `' ( _I |` A ) = ( `' _I |` ( _I " A ) ) )
7		imai 4701	. . . 4 |- ( _I " A ) = A
8	1, 7	reseq12i 4628	. . 3 |- ( `' _I |` ( _I " A ) ) = ( _I |` A )
9	6, 8	syl6eq 2129	. 2 |- ( Fun `' _I -> `' ( _I |` A ) = ( _I |` A ) )
10	2, 5, 9	mp2b 8	1 |- `' ( _I |` A ) = ( _I |` A )

Syntax hints:   = wceq 1284   _I cid 4043   `'ccnv 4362   |` cres 4365   "cima 4366   Fun wfun 4916

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-fun 4924

This theorem is referenced by:  fcoi1  5090  f1oi  5184