Theorem imai 4701

Description: Image under the identity relation. Theorem 3.16(viii) of [Monk1] p. 38. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.)

Assertion

Ref	Expression
imai	|- ( _I " A ) = A

Proof of Theorem imai

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfima3 4691	. 2 |- ( _I " A ) = { y | E. x ( x e. A /\ <. x , y >. e. _I ) }
2		df-br 3786	. . . . . . . 8 |- ( x _I y <-> <. x , y >. e. _I )
3		vex 2604	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
4	3	ideq 4506	. . . . . . . 8 |- ( x _I y <-> x = y )
5	2, 4	bitr3i 184	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. _I <-> x = y )
6	5	anbi2i 444	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ <. x , y >. e. _I ) <-> ( x e. A /\ x = y ) )
7		ancom 262	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ x = y ) <-> ( x = y /\ x e. A ) )
8	6, 7	bitri 182	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ <. x , y >. e. _I ) <-> ( x = y /\ x e. A ) )
9	8	exbii 1536	. . . 4 |- ( E. x ( x e. A /\ <. x , y >. e. _I ) <-> E. x ( x = y /\ x e. A ) )
10		eleq1 2141	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
11	3, 10	ceqsexv 2638	. . . 4 |- ( E. x ( x = y /\ x e. A ) <-> y e. A )
12	9, 11	bitri 182	. . 3 |- ( E. x ( x e. A /\ <. x , y >. e. _I ) <-> y e. A )
13	12	abbii 2194	. 2 |- { y | E. x ( x e. A /\ <. x , y >. e. _I ) } = { y | y e. A }
14		abid2 2199	. 2 |- { y | y e. A } = A
15	1, 13, 14	3eqtri 2105	1 |- ( _I " A ) = A

Syntax hints:   /\ wa 102   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   {cab 2067   <.cop 3401   class class class wbr 3785   _I cid 4043   "cima 4366

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376

This theorem is referenced by:  rnresi  4702  cnvresid  4993  ecidsn  6176