Theorem decmul1 8540

Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul1.p	|- P e. NN0
decmul1.a	|- A e. NN0
decmul1.b	|- B e. NN0
decmul1.n	|- N = ; A B
decmul1.0	|- D e. NN0
decmul1.c	|- ( A x. P ) = C
decmul1.d	|- ( B x. P ) = D

Assertion

Ref	Expression
decmul1	|- ( N x. P ) = ; C D

Proof of Theorem decmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 8494	. . 3 |- ; 1 0 e. NN0
2		decmul1.p	. . 3 |- P e. NN0
3		decmul1.a	. . 3 |- A e. NN0
4		decmul1.b	. . 3 |- B e. NN0
5		decmul1.n	. . . 4 |- N = ; A B
6		dfdec10 8480	. . . 4 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
7	5, 6	eqtri 2101	. . 3 |- N = ( (; 1 0 x. A ) + B )
8		decmul1.0	. . 3 |- D e. NN0
9		0nn0 8303	. . 3 |- 0 e. NN0
10	3, 2	nn0mulcli 8326	. . . . . 6 |- ( A x. P ) e. NN0
11	10	nn0cni 8300	. . . . 5 |- ( A x. P ) e. CC
12	11	addid1i 7250	. . . 4 |- ( ( A x. P ) + 0 ) = ( A x. P )
13		decmul1.c	. . . 4 |- ( A x. P ) = C
14	12, 13	eqtri 2101	. . 3 |- ( ( A x. P ) + 0 ) = C
15		decmul1.d	. . . . 5 |- ( B x. P ) = D
16	15	oveq2i 5543	. . . 4 |- ( 0 + ( B x. P ) ) = ( 0 + D )
17	4, 2	nn0mulcli 8326	. . . . . 6 |- ( B x. P ) e. NN0
18	17	nn0cni 8300	. . . . 5 |- ( B x. P ) e. CC
19	18	addid2i 7251	. . . 4 |- ( 0 + ( B x. P ) ) = ( B x. P )
20	1	nn0cni 8300	. . . . . . 7 |- ; 1 0 e. CC
21	20	mul01i 7495	. . . . . 6 |- (; 1 0 x. 0 ) = 0
22	21	eqcomi 2085	. . . . 5 |- 0 = (; 1 0 x. 0 )
23	22	oveq1i 5542	. . . 4 |- ( 0 + D ) = ( (; 1 0 x. 0 ) + D )
24	16, 19, 23	3eqtr3i 2109	. . 3 |- ( B x. P ) = ( (; 1 0 x. 0 ) + D )
25	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 14, 24	nummul1c 8525	. 2 |- ( N x. P ) = ( (; 1 0 x. C ) + D )
26		dfdec10 8480	. 2 |- ; C D = ( (; 1 0 x. C ) + D )
27	25, 26	eqtr4i 2104	1 |- ( N x. P ) = ; C D

Syntax hints:   = wceq 1284   e. wcel 1433  (class class class)co 5532   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   x. cmul 6986   NN0cn0 8288  ;cdc 8477

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-sub 7281  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-5 8101  df-6 8102  df-7 8103  df-8 8104  df-9 8105  df-n0 8289  df-dec 8478

This theorem is referenced by:  sq10  9640