Theorem dffv3g 5194

Description: A definition of function value in terms of iota. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dffv3g	|- ( A e. V -> ( F ` A ) = ( iota x x e. ( F " { A } ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, A   x, V

Proof of Theorem dffv3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2604	. . . 4 |- x e. _V
2		elimasng 4713	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. _V ) -> ( x e. ( F " { A } ) <-> <. A , x >. e. F ) )
3		df-br 3786	. . . . 5 |- ( A F x <-> <. A , x >. e. F )
4	2, 3	syl6bbr 196	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ x e. _V ) -> ( x e. ( F " { A } ) <-> A F x ) )
5	1, 4	mpan2 415	. . 3 |- ( A e. V -> ( x e. ( F " { A } ) <-> A F x ) )
6	5	iotabidv 4908	. 2 |- ( A e. V -> ( iota x x e. ( F " { A } ) ) = ( iota x A F x ) )
7		df-fv 4930	. 2 |- ( F ` A ) = ( iota x A F x )
8	6, 7	syl6reqr 2132	1 |- ( A e. V -> ( F ` A ) = ( iota x x e. ( F " { A } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   {csn 3398   <.cop 3401   class class class wbr 3785   "cima 4366   iotacio 4885   ` cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-cnv 4371  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fv 4930

This theorem is referenced by:  dffv4g  5195  fvco2  5263  shftval  9713