Theorem elimasng 4713

Description: Membership in an image of a singleton. (Contributed by Raph Levien, 21-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elimasng	|- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( C e. ( A " { B } ) <-> <. B , C >. e. A ) )

Proof of Theorem elimasng

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3409	. . . . 5 |- ( y = B -> { y } = { B } )
2	1	imaeq2d 4688	. . . 4 |- ( y = B -> ( A " { y } ) = ( A " { B } ) )
3	2	eleq2d 2148	. . 3 |- ( y = B -> ( z e. ( A " { y } ) <-> z e. ( A " { B } ) ) )
4		opeq1 3570	. . . 4 |- ( y = B -> <. y , z >. = <. B , z >. )
5	4	eleq1d 2147	. . 3 |- ( y = B -> ( <. y , z >. e. A <-> <. B , z >. e. A ) )
6	3, 5	bibi12d 233	. 2 |- ( y = B -> ( ( z e. ( A " { y } ) <-> <. y , z >. e. A ) <-> ( z e. ( A " { B } ) <-> <. B , z >. e. A ) ) )
7		eleq1 2141	. . 3 |- ( z = C -> ( z e. ( A " { B } ) <-> C e. ( A " { B } ) ) )
8		opeq2 3571	. . . 4 |- ( z = C -> <. B , z >. = <. B , C >. )
9	8	eleq1d 2147	. . 3 |- ( z = C -> ( <. B , z >. e. A <-> <. B , C >. e. A ) )
10	7, 9	bibi12d 233	. 2 |- ( z = C -> ( ( z e. ( A " { B } ) <-> <. B , z >. e. A ) <-> ( C e. ( A " { B } ) <-> <. B , C >. e. A ) ) )
11		vex 2604	. . 3 |- y e. _V
12		vex 2604	. . 3 |- z e. _V
13	11, 12	elimasn 4712	. 2 |- ( z e. ( A " { y } ) <-> <. y , z >. e. A )
14	6, 10, 13	vtocl2g 2662	1 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( C e. ( A " { B } ) <-> <. B , C >. e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   {csn 3398   <.cop 3401   "cima 4366

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-cnv 4371  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376

This theorem is referenced by:  eliniseg  4715  inimasn  4761  dffv3g  5194  fvimacnv  5303  funfvima3  5413  elecg  6167