Theorem dfsmo2 5925

Description: Alternate definition of a strictly monotone ordinal function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfsmo2	|- ( Smo F <-> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )

Distinct variable group:   x, F, y

Proof of Theorem dfsmo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-smo 5924	. 2 |- ( Smo F <-> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) )
2		ralcom 2517	. . . . . 6 |- ( A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> A. x e. dom F A. y e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
3		impexp 259	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. dom F /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> ( y e. dom F -> ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) )
4		simpr 108	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. dom F /\ y e. x ) -> y e. x )
5		ordtr1 4143	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Ord dom F -> ( ( y e. x /\ x e. dom F ) -> y e. dom F ) )
6	5	3impib 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord dom F /\ y e. x /\ x e. dom F ) -> y e. dom F )
7	6	3com23 1144	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F /\ y e. x ) -> y e. dom F )
8		simp3 940	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F /\ y e. x ) -> y e. x )
9	7, 8	jca 300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F /\ y e. x ) -> ( y e. dom F /\ y e. x ) )
10	9	3expia 1140	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F ) -> ( y e. x -> ( y e. dom F /\ y e. x ) ) )
11	4, 10	impbid2 141	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F ) -> ( ( y e. dom F /\ y e. x ) <-> y e. x ) )
12	11	imbi1d 229	. . . . . . . . 9 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F ) -> ( ( ( y e. dom F /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) )
13	3, 12	syl5bbr 192	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F ) -> ( ( y e. dom F -> ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) <-> ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) )
14	13	ralbidv2 2370	. . . . . . 7 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F ) -> ( A. y e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
15	14	ralbidva 2364	. . . . . 6 |- ( Ord dom F -> ( A. x e. dom F A. y e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
16	2, 15	syl5bb 190	. . . . 5 |- ( Ord dom F -> ( A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
17	16	pm5.32i 441	. . . 4 |- ( ( Ord dom F /\ A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) <-> ( Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
18	17	anbi2i 444	. . 3 |- ( ( F : dom F --> On /\ ( Ord dom F /\ A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) ) <-> ( F : dom F --> On /\ ( Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) )
19		3anass 923	. . 3 |- ( ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) <-> ( F : dom F --> On /\ ( Ord dom F /\ A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) ) )
20		3anass 923	. . 3 |- ( ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> ( F : dom F --> On /\ ( Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) )
21	18, 19, 20	3bitr4i 210	. 2 |- ( ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) <-> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
22	1, 21	bitri 182	1 |- ( Smo F <-> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   e. wcel 1433   A.wral 2348   Ord word 4117   Oncon0 4118   dom cdm 4363   -->wf 4918   ` cfv 4922   Smo wsmo 5923

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-v 2603  df-in 2979  df-ss 2986  df-uni 3602  df-tr 3876  df-iord 4121  df-smo 5924

This theorem is referenced by:  issmo2  5927  smores2  5932  smofvon2dm  5934