Theorem smores2 5932

Description: A strictly monotone ordinal function restricted to an ordinal is still monotone. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smores2	|- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> Smo ( F |` A ) )

Proof of Theorem smores2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsmo2 5925	. . . . . . 7 |- ( Smo F <-> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
2	1	simp1bi 953	. . . . . 6 |- ( Smo F -> F : dom F --> On )
3		ffun 5068	. . . . . 6 |- ( F : dom F --> On -> Fun F )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( Smo F -> Fun F )
5		funres 4961	. . . . . 6 |- ( Fun F -> Fun ( F |` A ) )
6		funfn 4951	. . . . . 6 |- ( Fun ( F |` A ) <-> ( F |` A ) Fn dom ( F |` A ) )
7	5, 6	sylib 120	. . . . 5 |- ( Fun F -> ( F |` A ) Fn dom ( F |` A ) )
8	4, 7	syl 14	. . . 4 |- ( Smo F -> ( F |` A ) Fn dom ( F |` A ) )
9		df-ima 4376	. . . . . 6 |- ( F " A ) = ran ( F |` A )
10		imassrn 4699	. . . . . 6 |- ( F " A ) C_ ran F
11	9, 10	eqsstr3i 3030	. . . . 5 |- ran ( F |` A ) C_ ran F
12		frn 5072	. . . . . 6 |- ( F : dom F --> On -> ran F C_ On )
13	2, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( Smo F -> ran F C_ On )
14	11, 13	syl5ss 3010	. . . 4 |- ( Smo F -> ran ( F |` A ) C_ On )
15		df-f 4926	. . . 4 |- ( ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> On <-> ( ( F |` A ) Fn dom ( F |` A ) /\ ran ( F |` A ) C_ On ) )
16	8, 14, 15	sylanbrc 408	. . 3 |- ( Smo F -> ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> On )
17	16	adantr 270	. 2 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> On )
18		smodm 5929	. . 3 |- ( Smo F -> Ord dom F )
19		ordin 4140	. . . . 5 |- ( ( Ord A /\ Ord dom F ) -> Ord ( A i^i dom F ) )
20		dmres 4650	. . . . . 6 |- dom ( F |` A ) = ( A i^i dom F )
21		ordeq 4127	. . . . . 6 |- ( dom ( F |` A ) = ( A i^i dom F ) -> ( Ord dom ( F |` A ) <-> Ord ( A i^i dom F ) ) )
22	20, 21	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( Ord dom ( F |` A ) <-> Ord ( A i^i dom F ) )
23	19, 22	sylibr 132	. . . 4 |- ( ( Ord A /\ Ord dom F ) -> Ord dom ( F |` A ) )
24	23	ancoms 264	. . 3 |- ( ( Ord dom F /\ Ord A ) -> Ord dom ( F |` A ) )
25	18, 24	sylan 277	. 2 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> Ord dom ( F |` A ) )
26		resss 4653	. . . . . 6 |- ( F |` A ) C_ F
27		dmss 4552	. . . . . 6 |- ( ( F |` A ) C_ F -> dom ( F |` A ) C_ dom F )
28	26, 27	ax-mp 7	. . . . 5 |- dom ( F |` A ) C_ dom F
29	1	simp3bi 955	. . . . 5 |- ( Smo F -> A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) )
30		ssralv 3058	. . . . 5 |- ( dom ( F |` A ) C_ dom F -> ( A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) -> A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
31	28, 29, 30	mpsyl 64	. . . 4 |- ( Smo F -> A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) )
32	31	adantr 270	. . 3 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) )
33		ordtr1 4143	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord dom ( F |` A ) -> ( ( y e. x /\ x e. dom ( F |` A ) ) -> y e. dom ( F |` A ) ) )
34	25, 33	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> ( ( y e. x /\ x e. dom ( F |` A ) ) -> y e. dom ( F |` A ) ) )
35		inss1 3186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i dom F ) C_ A
36	20, 35	eqsstri 3029	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( F |` A ) C_ A
37	36	sseli 2995	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. dom ( F |` A ) -> y e. A )
38	34, 37	syl6 33	. . . . . . . . 9 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> ( ( y e. x /\ x e. dom ( F |` A ) ) -> y e. A ) )
39	38	expcomd 1370	. . . . . . . 8 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> ( x e. dom ( F |` A ) -> ( y e. x -> y e. A ) ) )
40	39	imp31 252	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Smo F /\ Ord A ) /\ x e. dom ( F |` A ) ) /\ y e. x ) -> y e. A )
41		fvres 5219	. . . . . . 7 |- ( y e. A -> ( ( F |` A ) ` y ) = ( F ` y ) )
42	40, 41	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( Smo F /\ Ord A ) /\ x e. dom ( F |` A ) ) /\ y e. x ) -> ( ( F |` A ) ` y ) = ( F ` y ) )
43	36	sseli 2995	. . . . . . . 8 |- ( x e. dom ( F |` A ) -> x e. A )
44		fvres 5219	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> ( ( F |` A ) ` x ) = ( F ` x ) )
45	43, 44	syl 14	. . . . . . 7 |- ( x e. dom ( F |` A ) -> ( ( F |` A ) ` x ) = ( F ` x ) )
46	45	ad2antlr 472	. . . . . 6 |- ( ( ( ( Smo F /\ Ord A ) /\ x e. dom ( F |` A ) ) /\ y e. x ) -> ( ( F |` A ) ` x ) = ( F ` x ) )
47	42, 46	eleq12d 2149	. . . . 5 |- ( ( ( ( Smo F /\ Ord A ) /\ x e. dom ( F |` A ) ) /\ y e. x ) -> ( ( ( F |` A ) ` y ) e. ( ( F |` A ) ` x ) <-> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
48	47	ralbidva 2364	. . . 4 |- ( ( ( Smo F /\ Ord A ) /\ x e. dom ( F |` A ) ) -> ( A. y e. x ( ( F |` A ) ` y ) e. ( ( F |` A ) ` x ) <-> A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
49	48	ralbidva 2364	. . 3 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> ( A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( ( F |` A ) ` y ) e. ( ( F |` A ) ` x ) <-> A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
50	32, 49	mpbird 165	. 2 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( ( F |` A ) ` y ) e. ( ( F |` A ) ` x ) )
51		dfsmo2 5925	. 2 |- ( Smo ( F |` A ) <-> ( ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> On /\ Ord dom ( F |` A ) /\ A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( ( F |` A ) ` y ) e. ( ( F |` A ) ` x ) ) )
52	17, 25, 50, 51	syl3anbrc 1122	1 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> Smo ( F |` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   i^i cin 2972   C_ wss 2973   Ord word 4117   Oncon0 4118   dom cdm 4363   ran crn 4364   |` cres 4365   "cima 4366   Fun wfun 4916   Fn wfn 4917   -->wf 4918   ` cfv 4922   Smo wsmo 5923

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-tr 3876  df-iord 4121  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-smo 5924

This theorem is referenced by: (None)