Theorem dmopab3 4566

Description: The domain of a restricted class of ordered pairs. (Contributed by NM, 31-Jan-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmopab3	|- ( A. x e. A E. y ph <-> dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = A )

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem dmopab3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2353	. 2 |- ( A. x e. A E. y ph <-> A. x ( x e. A -> E. y ph ) )
2		pm4.71 381	. . 3 |- ( ( x e. A -> E. y ph ) <-> ( x e. A <-> ( x e. A /\ E. y ph ) ) )
3	2	albii 1399	. 2 |- ( A. x ( x e. A -> E. y ph ) <-> A. x ( x e. A <-> ( x e. A /\ E. y ph ) ) )
4		dmopab 4564	. . . . 5 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = { x | E. y ( x e. A /\ ph ) }
5		19.42v 1827	. . . . . 6 |- ( E. y ( x e. A /\ ph ) <-> ( x e. A /\ E. y ph ) )
6	5	abbii 2194	. . . . 5 |- { x | E. y ( x e. A /\ ph ) } = { x | ( x e. A /\ E. y ph ) }
7	4, 6	eqtri 2101	. . . 4 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = { x | ( x e. A /\ E. y ph ) }
8	7	eqeq1i 2088	. . 3 |- ( dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = A <-> { x | ( x e. A /\ E. y ph ) } = A )
9		eqcom 2083	. . 3 |- ( A = { x | ( x e. A /\ E. y ph ) } <-> { x | ( x e. A /\ E. y ph ) } = A )
10		abeq2 2187	. . 3 |- ( A = { x | ( x e. A /\ E. y ph ) } <-> A. x ( x e. A <-> ( x e. A /\ E. y ph ) ) )
11	8, 9, 10	3bitr2ri 207	. 2 |- ( A. x ( x e. A <-> ( x e. A /\ E. y ph ) ) <-> dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = A )
12	1, 3, 11	3bitri 204	1 |- ( A. x e. A E. y ph <-> dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1282   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   {cab 2067   A.wral 2348   {copab 3838   dom cdm 4363

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-dm 4373

This theorem is referenced by:  dmxpm  4573  fnopabg  5042