Theorem dmrnssfld 4613

Description: The domain and range of a class are included in its double union. (Contributed by NM, 13-May-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dmrnssfld	|- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Proof of Theorem dmrnssfld

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2604	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	eldm2 4551	. . . 4 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
3	1	prid1 3498	. . . . . 6 |- x e. { x , y }
4		vex 2604	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
5	1, 4	uniop 4010	. . . . . . . . 9 |- U. <. x , y >. = { x , y }
6	1, 4	uniopel 4011	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. A -> U. <. x , y >. e. U. A )
7	5, 6	syl5eqelr 2166	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } e. U. A )
8		elssuni 3629	. . . . . . . 8 |- ( { x , y } e. U. A -> { x , y } C_ U. U. A )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } C_ U. U. A )
10	9	sseld 2998	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( x e. { x , y } -> x e. U. U. A ) )
11	3, 10	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
12	11	exlimiv 1529	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
13	2, 12	sylbi 119	. . 3 |- ( x e. dom A -> x e. U. U. A )
14	13	ssriv 3003	. 2 |- dom A C_ U. U. A
15	4	elrn2 4594	. . . 4 |- ( y e. ran A <-> E. x <. x , y >. e. A )
16	4	prid2 3499	. . . . . 6 |- y e. { x , y }
17	9	sseld 2998	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( y e. { x , y } -> y e. U. U. A ) )
18	16, 17	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
19	18	exlimiv 1529	. . . 4 |- ( E. x <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
20	15, 19	sylbi 119	. . 3 |- ( y e. ran A -> y e. U. U. A )
21	20	ssriv 3003	. 2 |- ran A C_ U. U. A
22	14, 21	unssi 3147	1 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Syntax hints:   E.wex 1421   e. wcel 1433   u. cun 2971   C_ wss 2973   {cpr 3399   <.cop 3401   U.cuni 3601   dom cdm 4363   ran crn 4364

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-cnv 4371  df-dm 4373  df-rn 4374

This theorem is referenced by:  dmexg  4614  rnexg  4615  relfld  4866  relcoi2  4868