Theorem dvdsadd 10238

Description: An integer divides another iff it divides their sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsadd	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> M || ( M + N ) ) )

Proof of Theorem dvdsadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 107	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
2		zaddcl 8391	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )
3		simpr 108	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
4		iddvds 10208	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M || M )
5	4	adantr 270	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M || M )
6		zcn 8356	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
7		zcn 8356	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
8		pncan 7314	. . . . 5 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( M + N ) - N ) = M )
9	6, 7, 8	syl2an 283	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + N ) - N ) = M )
10	5, 9	breqtrrd 3811	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M || ( ( M + N ) - N ) )
11		dvdssub2 10237	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M || ( ( M + N ) - N ) ) -> ( M || ( M + N ) <-> M || N ) )
12	1, 2, 3, 10, 11	syl31anc 1172	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || ( M + N ) <-> M || N ) )
13	12	bicomd 139	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> M || ( M + N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   CCcc 6979   + caddc 6984   - cmin 7279   ZZcz 8351   || cdvds 10195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-dvds 10196

This theorem is referenced by:  dvdsaddr  10239  dvdssub  10240  dvdssubr  10241  oddp1even  10275