Theorem dvdsmulgcd 10414

Description: Relationship between the order of an element and that of a multiple. (a divisibility equivalent). (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmulgcd	|- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A || ( B x. C ) <-> A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) )

Proof of Theorem dvdsmulgcd

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 496	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> C e. ZZ )
2		dvdszrcl 10200	. . . . . 6 |- ( A || ( B x. C ) -> ( A e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ ) )
3	2	adantl 271	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> ( A e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ ) )
4	3	simpld 110	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> A e. ZZ )
5		bezout 10400	. . . 4 |- ( ( C e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) )
6	1, 4, 5	syl2anc 403	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) )
7	4	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A e. ZZ )
8		simplll 499	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> B e. ZZ )
9		simpllr 500	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> C e. ZZ )
10		simprl 497	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. ZZ )
11	9, 10	zmulcld 8475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( C x. x ) e. ZZ )
12	8, 11	zmulcld 8475	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. ( C x. x ) ) e. ZZ )
13		simprr 498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. ZZ )
14	7, 13	zmulcld 8475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( A x. y ) e. ZZ )
15	8, 14	zmulcld 8475	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. ( A x. y ) ) e. ZZ )
16		simplr 496	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( B x. C ) )
17	8, 9	zmulcld 8475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. C ) e. ZZ )
18		dvdsmultr1 10233	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( A || ( B x. C ) -> A || ( ( B x. C ) x. x ) ) )
19	7, 17, 10, 18	syl3anc 1169	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( A || ( B x. C ) -> A || ( ( B x. C ) x. x ) ) )
20	16, 19	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( ( B x. C ) x. x ) )
21	8	zcnd 8470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> B e. CC )
22	9	zcnd 8470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> C e. CC )
23	10	zcnd 8470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. CC )
24	21, 22, 23	mulassd 7142	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( B x. C ) x. x ) = ( B x. ( C x. x ) ) )
25	20, 24	breqtrd 3809	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( B x. ( C x. x ) ) )
26	8, 13	zmulcld 8475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. y ) e. ZZ )
27		dvdsmul1 10217	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B x. y ) e. ZZ ) -> A || ( A x. ( B x. y ) ) )
28	7, 26, 27	syl2anc 403	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( A x. ( B x. y ) ) )
29	7	zcnd 8470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A e. CC )
30	13	zcnd 8470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. CC )
31	21, 29, 30	mul12d 7260	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. ( A x. y ) ) = ( A x. ( B x. y ) ) )
32	28, 31	breqtrrd 3811	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( B x. ( A x. y ) ) )
33		dvds2add 10229	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C x. x ) ) e. ZZ /\ ( B x. ( A x. y ) ) e. ZZ ) -> ( ( A || ( B x. ( C x. x ) ) /\ A || ( B x. ( A x. y ) ) ) -> A || ( ( B x. ( C x. x ) ) + ( B x. ( A x. y ) ) ) ) )
34	33	imp 122	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C x. x ) ) e. ZZ /\ ( B x. ( A x. y ) ) e. ZZ ) /\ ( A || ( B x. ( C x. x ) ) /\ A || ( B x. ( A x. y ) ) ) ) -> A || ( ( B x. ( C x. x ) ) + ( B x. ( A x. y ) ) ) )
35	7, 12, 15, 25, 32, 34	syl32anc 1177	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( ( B x. ( C x. x ) ) + ( B x. ( A x. y ) ) ) )
36	11	zcnd 8470	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( C x. x ) e. CC )
37	14	zcnd 8470	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( A x. y ) e. CC )
38	21, 36, 37	adddid 7143	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) ) = ( ( B x. ( C x. x ) ) + ( B x. ( A x. y ) ) ) )
39	35, 38	breqtrrd 3811	. . . . 5 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( B x. ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) ) )
40		oveq2 5540	. . . . . 6 |- ( ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) -> ( B x. ( C gcd A ) ) = ( B x. ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) ) )
41	40	breq2d 3797	. . . . 5 |- ( ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) -> ( A || ( B x. ( C gcd A ) ) <-> A || ( B x. ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) ) ) )
42	39, 41	syl5ibrcom 155	. . . 4 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) -> A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) )
43	42	rexlimdvva 2484	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) -> A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) )
44	6, 43	mpd 13	. 2 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> A || ( B x. ( C gcd A ) ) )
45		dvdszrcl 10200	. . . . 5 |- ( A || ( B x. ( C gcd A ) ) -> ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C gcd A ) ) e. ZZ ) )
46	45	adantl 271	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C gcd A ) ) e. ZZ ) )
47	46	simpld 110	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> A e. ZZ )
48	46	simprd 112	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( B x. ( C gcd A ) ) e. ZZ )
49		zmulcl 8404	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B x. C ) e. ZZ )
50	49	adantr 270	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( B x. C ) e. ZZ )
51		simpr 108	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> A || ( B x. ( C gcd A ) ) )
52		simplr 496	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> C e. ZZ )
53		gcddvds 10355	. . . . . 6 |- ( ( C e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( C gcd A ) || C /\ ( C gcd A ) || A ) )
54	52, 47, 53	syl2anc 403	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( ( C gcd A ) || C /\ ( C gcd A ) || A ) )
55	54	simpld 110	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( C gcd A ) || C )
56	52, 47	gcdcld 10360	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( C gcd A ) e. NN0 )
57	56	nn0zd 8467	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( C gcd A ) e. ZZ )
58		simpll 495	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> B e. ZZ )
59		dvdscmul 10222	. . . . 5 |- ( ( ( C gcd A ) e. ZZ /\ C e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( C gcd A ) || C -> ( B x. ( C gcd A ) ) || ( B x. C ) ) )
60	57, 52, 58, 59	syl3anc 1169	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( ( C gcd A ) || C -> ( B x. ( C gcd A ) ) || ( B x. C ) ) )
61	55, 60	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( B x. ( C gcd A ) ) || ( B x. C ) )
62		dvdstr 10232	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C gcd A ) ) e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ ) -> ( ( A || ( B x. ( C gcd A ) ) /\ ( B x. ( C gcd A ) ) || ( B x. C ) ) -> A || ( B x. C ) ) )
63	62	imp 122	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C gcd A ) ) e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ ) /\ ( A || ( B x. ( C gcd A ) ) /\ ( B x. ( C gcd A ) ) || ( B x. C ) ) ) -> A || ( B x. C ) )
64	47, 48, 50, 51, 61, 63	syl32anc 1177	. 2 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> A || ( B x. C ) )
65	44, 64	impbida 560	1 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A || ( B x. C ) <-> A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   E.wrex 2349   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   + caddc 6984   x. cmul 6986   ZZcz 8351   || cdvds 10195   gcd cgcd 10338

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095  ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-sup 6397  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-q 8705  df-rp 8735  df-fz 9030  df-fzo 9153  df-fl 9274  df-mod 9325  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-dvds 10196  df-gcd 10339

This theorem is referenced by:  coprmdvds  10474