Theorem eldifpw 4226

Description: Membership in a power class difference. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldifpw.1	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
eldifpw	|- ( ( A e. ~P B /\ -. C C_ B ) -> ( A u. C ) e. ( ~P ( B u. C ) \ ~P B ) )

Proof of Theorem eldifpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 3391	. . . 4 |- ( A e. ~P B -> A C_ B )
2		unss1 3141	. . . . 5 |- ( A C_ B -> ( A u. C ) C_ ( B u. C ) )
3		eldifpw.1	. . . . . . 7 |- C e. _V
4		unexg 4196	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ~P B /\ C e. _V ) -> ( A u. C ) e. _V )
5	3, 4	mpan2 415	. . . . . 6 |- ( A e. ~P B -> ( A u. C ) e. _V )
6		elpwg 3390	. . . . . 6 |- ( ( A u. C ) e. _V -> ( ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) <-> ( A u. C ) C_ ( B u. C ) ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. ~P B -> ( ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) <-> ( A u. C ) C_ ( B u. C ) ) )
8	2, 7	syl5ibr 154	. . . 4 |- ( A e. ~P B -> ( A C_ B -> ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) ) )
9	1, 8	mpd 13	. . 3 |- ( A e. ~P B -> ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) )
10		elpwi 3391	. . . . 5 |- ( ( A u. C ) e. ~P B -> ( A u. C ) C_ B )
11	10	unssbd 3150	. . . 4 |- ( ( A u. C ) e. ~P B -> C C_ B )
12	11	con3i 594	. . 3 |- ( -. C C_ B -> -. ( A u. C ) e. ~P B )
13	9, 12	anim12i 331	. 2 |- ( ( A e. ~P B /\ -. C C_ B ) -> ( ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) /\ -. ( A u. C ) e. ~P B ) )
14		eldif 2982	. 2 |- ( ( A u. C ) e. ( ~P ( B u. C ) \ ~P B ) <-> ( ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) /\ -. ( A u. C ) e. ~P B ) )
15	13, 14	sylibr 132	1 |- ( ( A e. ~P B /\ -. C C_ B ) -> ( A u. C ) e. ( ~P ( B u. C ) \ ~P B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   \ cdif 2970   u. cun 2971   C_ wss 2973   ~Pcpw 3382

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-uni 3602

This theorem is referenced by: (None)