Theorem op1stb 4227

Description: Extract the first member of an ordered pair. Theorem 73 of [Suppes] p. 42. (Contributed by NM, 25-Nov-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1stb.1	|- A e. _V
op1stb.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1stb	|- |^| |^| <. A , B >. = A

Proof of Theorem op1stb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1stb.1	. . . . . 6 |- A e. _V
2		op1stb.2	. . . . . 6 |- B e. _V
3	1, 2	dfop 3569	. . . . 5 |- <. A , B >. = { { A } , { A , B } }
4	3	inteqi 3640	. . . 4 |- |^| <. A , B >. = |^| { { A } , { A , B } }
5	1	snex 3957	. . . . . 6 |- { A } e. _V
6		prexg 3966	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
7	1, 2, 6	mp2an 416	. . . . . 6 |- { A , B } e. _V
8	5, 7	intpr 3668	. . . . 5 |- |^| { { A } , { A , B } } = ( { A } i^i { A , B } )
9		snsspr1 3533	. . . . . 6 |- { A } C_ { A , B }
10		df-ss 2986	. . . . . 6 |- ( { A } C_ { A , B } <-> ( { A } i^i { A , B } ) = { A } )
11	9, 10	mpbi 143	. . . . 5 |- ( { A } i^i { A , B } ) = { A }
12	8, 11	eqtri 2101	. . . 4 |- |^| { { A } , { A , B } } = { A }
13	4, 12	eqtri 2101	. . 3 |- |^| <. A , B >. = { A }
14	13	inteqi 3640	. 2 |- |^| |^| <. A , B >. = |^| { A }
15	1	intsn 3671	. 2 |- |^| { A } = A
16	14, 15	eqtri 2101	1 |- |^| |^| <. A , B >. = A

Syntax hints:   = wceq 1284   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   i^i cin 2972   C_ wss 2973   {csn 3398   {cpr 3399   <.cop 3401   |^|cint 3636

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-int 3637

This theorem is referenced by:  elreldm  4578  op2ndb  4824  1stval2  5802  fundmen  6309  xpsnen  6318