Theorem elnnnn0 8331

Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnnnn0	|- ( N e. NN <-> ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) )

Proof of Theorem elnnnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 8047	. 2 |- ( N e. NN -> N e. CC )
2		npcan1 7482	. . . . 5 |- ( N e. CC -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
3	2	eleq1d 2147	. . . 4 |- ( N e. CC -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) e. NN <-> N e. NN ) )
4		peano2cnm 7374	. . . . 5 |- ( N e. CC -> ( N - 1 ) e. CC )
5	4	biantrurd 299	. . . 4 |- ( N e. CC -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) e. NN <-> ( ( N - 1 ) e. CC /\ ( ( N - 1 ) + 1 ) e. NN ) ) )
6	3, 5	bitr3d 188	. . 3 |- ( N e. CC -> ( N e. NN <-> ( ( N - 1 ) e. CC /\ ( ( N - 1 ) + 1 ) e. NN ) ) )
7		elnn0nn 8330	. . 3 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) e. CC /\ ( ( N - 1 ) + 1 ) e. NN ) )
8	6, 7	syl6bbr 196	. 2 |- ( N e. CC -> ( N e. NN <-> ( N - 1 ) e. NN0 ) )
9	1, 8	biadan2 443	1 |- ( N e. NN <-> ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   e. wcel 1433  (class class class)co 5532   CCcc 6979   1c1 6982   + caddc 6984   - cmin 7279   NNcn 8039   NN0cn0 8288

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-sub 7281  df-inn 8040  df-n0 8289

This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  9211  facnn2  9661